Épreuve de maturité 2016 de maths, niveau standard

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2016, niveau standard. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2016 (niveau standard)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2016, niveau standard, comporte 5 problèmes (24 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	15	5
Problème 2	Géométrie plane	15	5
Problème 3 (à choix)	Probabilités	10	7
Problème 4 (à choix)	Analyse	10	2
Problème 5 (à choix)	Géométrie dans l'espace	10	5

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Probabilités

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2016 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

15 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2+4x\cdot e^{x}$ .

a)
Étudier la fonction $f$ (ensemble de définition, intersection avec l’axe $Oy$ , équation des éventuelles asymptotes, extrema et graphe).
5 pts
b)
Dessiner, dans le repère utilisé pour le graphe de $f$ , la droite $d$ d’équation $y=2+x$ , puis déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite $d$ et du graphe de $f$ .
2 pts
c)
On pose $G(x)=ax+b\cdot e^{x}$ , où $a$ et $b$ sont des paramètres réels non nuls. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $G$ soit une primitive de $g(x)=x\cdot e^{x}$ .
2 pts
d)
Calculer l’aire de la surface fermée comprise entre la droite $d$ et le graphe de $f$ .
4 pts
e)
Déterminer pour quelle valeur de $k$ le graphe de la fonction $h(x)=k+4x\cdot e^{x}$ est tangent à l’axe $Ox$ .
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

Dans un repère orthonormé $Oxy$ , on donne :

les points $A(6;-3)$ et $B(4;-7)$ ;
la droite $d$ d’équation $d:\begin{cases} x=3+4t\\ y=-9+8t \end{cases}\quad (t\in\mathbb{R})$ ;
le cercle $c_1$ d’équation $x^{2}+y^{2}-4x+2y-15=0$ .

a)
Vérifier que les points $A$ et $B$ sont situés sur la droite $d$ .
3 pts
b)
Déterminer le rayon $r_1$ et les coordonnées du centre $C_1$ du cercle $c_1$ .
3 pts
c)
Montrer que la droite $d$ est tangente au cercle $c_1$ .
2 pts
d)
Montrer que $A$ appartient au cercle $c_1$ , puis calculer l’aire du triangle $ABC_1$ .
3 pts
e)
Déterminer l’équation du cercle $c_2$ passant par les points $A$ et $B$ et dont l’abscisse du centre vaut $1$ .
4 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Une représentation simplifiée des conditions météorologiques consiste à classer le temps en trois catégories : beau, variable et mauvais.
Le tableau suivant fournit la probabilité pour avoir un temps donné le lendemain en fonction du temps du jour même.

(lignes : météo du lendemain — colonnes : météo du jour)

\begin{array}{l|ccc} & \text{beau} & \text{variable} & \text{mauvais}\\ \hline \text{beau} & 0{,}6 & 0{,}3 & 0{,}1\\ \text{variable} & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3\\ \text{mauvais} & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \end{array}

Il est vendredi et il fait beau.

a)
Montrer que la probabilité qu’il fasse mauvais samedi puis variable dimanche est de 3%.
2 pts
b)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau samedi et dimanche ?
1 pts
c)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau dimanche ?
1 pts
d)
Quelle est la probabilité qu’il fasse mauvais le samedi ou bien le dimanche ?
2 pts
e)
Quelle est la probabilité que la météo soit différente le vendredi, le samedi et le dimanche ?
1 pts
f)
Sachant que le temps sera variable dimanche, quelle est la probabilité qu’il fera beau le samedi ?
2 pts
g)
Quelle est la probabilité qu’il fasse beau jusqu’au vendredi suivant (vendredi y compris) ?
1 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

On considère 2 fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-3x^{2}+9$ et $g(x)=x^{2}-3$ .
Dans le domaine borné délimité par le graphe de ces 2 fonctions, on inscrit le rectangle $PQRS$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Figure : examen de maturité 2016 (niveau standard), problème 4

a)
Dans la figure ci-dessus, poser le système d’axes $Oxy$ gradué correspondant.
3 pts
b)
Déterminer les coordonnées du point $P(x;f(x))$ assurant au rectangle $PQRS$ une aire maximale. Que vaut alors cette aire maximale ?
7 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes $Oxyz$ proposé ci-dessous, on donne le plan vertical $\alpha$ et le plan $\beta$ .

Figure : examen de maturité 2016 (niveau standard), problème 5

a)
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ qui passe par les points $S(3;6;0)$ et $Z(0;0;2)$ , puis dessiner cette droite dans le repère ci-dessous.
2 pts
b)
Donner une représentation paramétrique des plans $\alpha$ et $\beta$ .
2 pts
c)
Construire la droite d’intersection $e$ des plans $\alpha$ et $\beta$ , puis donner une équation paramétrique de cette droite.
2 pts
d)
Construire les points d’intersection $I$ et $J$ de la droite $d$ avec les plans $\alpha$ et $\beta$ , puis calculer les coordonnées du point $I$ (intersection de la droite $d$ avec le plan $\alpha$ ).
2 pts
e)
Donner l’équation du plan $\pi$ qui contient la droite $d$ et le point $D(3;0;0)$ , puis dessiner ce plan $\pi$ .
2 pts

Le même millésime existe en niveau renforcé : examen de maturité 2016 niveau renforcé.