Épreuve de maturité 2013 de maths, niveau standard

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2013, niveau standard. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2013 (niveau standard)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2013, niveau standard, comporte 5 problèmes (27 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	17	6
Problème 2	Géométrie plane	13	8
Problème 3 (à choix)	Suites	10	5
Problème 4 (à choix)	Optimisation	10	2
Problème 5 (à choix)	Géométrie dans l'espace	10	6

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Suites Optimisation Géométrie dans l'espace

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Suites Quiz Optimisation

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2013 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

17 pts

On considère la fonction $f$ donnée par $f(x)=x^2\cdot e^x$

a)
Déterminer l’ensemble de définition, les zéros, le signe de $f$ , les équations des éventuelles asymptotes et les coordonnées des points à tangente horizontale de la fonction $f$ .
5 pts
b)
Représenter le graphe de $f$ .
4 pts
c)
Dans le même système d’axes que le graphe de $f$ , représenter le graphe de $g(x)=e^x$ puis calculer les coordonnées des points d’intersection des graphes de $f$ et de $g$ .
2 pts
d)
Vérifier que $F(x)=(x^2-2x+2)\cdot e^x$ est une primitive de $f$ , puis calculer l’aire de la surface fermée comprise entre les graphes de $f$ et $g$ .

On considère la fonction $f_a$ donnée par $f_a(x)=(x^2+a)\cdot e^x$
3 pts
e)
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le graphe de $f_a$ passe-t-il par le point $A(1\,;\,1)$ ?
1 pts
f)
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le graphe de $f_a$ possède-t-il un seul point à tangente horizontale ? Donner alors l’équation de cette (ces) tangente(s).
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

13 pts

Dans un repère orthonormé $Oxy$ , on donne :

les trois points $A(6\,;\,10)$ , $B(18\,;\,4)$ et $K(4\,;\,6)$ ;
le cercle $\gamma_1$ , passant par $A$ , d’équation $x^2+y^2-18x-2y-8=0$ .

a)
Montrer par calcul que le cercle $\gamma_1$ passe également par $B$ .
1 pts
b)
Trouver le centre et le rayon du cercle $\gamma_1$ .
2 pts
c)
Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\gamma_1$ avec l’axe des ordonnées $Oy$ . Noter $J$ le point d’ordonnée négative.
1 pts
d)
Prouver que les points $A$ , $K$ et $J$ sont alignés.
1 pts
e)
Donner une équation cartésienne de la droite $d_1$ , passant par le point $K$ et parallèle à la droite passant par les points $A$ et $B$ .
2 pts
f)
On appelle $d_2$ la droite passant par les points $J$ et $B$ . Calculer les coordonnées du point $D$ , intersection des droites $d_1$ et $d_2$ .
2 pts
g)
Montrer que le triangle $KJD$ est rectangle en $K$ .
2 pts
h)
Déterminer l’équation du cercle $\gamma_2$ circonscrit au triangle $KJD$ .
2 pts

Problème 3 — Suites

10 pts

Un dé à six faces est truqué de sorte qu’il affiche le nombre 6 deux fois plus souvent que chacun des autres nombres. On jette alors ce dé une fois.

a)
Montrer que la probabilité que ce dé affiche le nombre 6 est de $2/7$ .

Le jeu consiste à jeter ce dé au maximum 4 fois de suite. On gagne un franc chaque fois que celui-ci affiche un nombre différent de 6 et on perd deux francs chaque fois que celui-ci affiche le nombre 6.
Après chaque jet, on fait le total des francs. On arrête le jeu dès que le gain ou la perte dépassent 1 franc ou que l’on ait déjà effectué les 4 jets.
2 pts
b)
Calculer la probabilité de gagner au moins un franc à la fin de la partie.
3 pts
c)
Calculer la probabilité de perdre de l’argent à la fin de ce jeu.
2 pts
d)
Calculer la probabilité de n’avoir ni gagné ni perdu d’argent à la fin de la partie.
1 pts
e)
Sachant que l’on a perdu de l’argent, déterminer la probabilité que le jeu se soit arrêté après trois jets.
2 pts

Problème 4 — Optimisation

10 pts

Un pomiculteur estime que s’il plante 35 pommiers dans un champ, la production moyenne par arbre sera de 400 pommes. Cette production diminuera de 4 pommes par pommier pour chaque arbre ajouté à l’intérieur du verger.

a)
Combien de pommiers doit-il planter pour que la production totale soit maximale ?
8 pts
b)
Que vaut alors cette production maximale ?
2 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes $Oxyz$ proposé ci-dessous :

Figure : examen de maturité 2013 (niveau standard), problème 5

a)
Déterminer une équation du plan $\alpha$ donné par ses traces $\alpha'$ et $\alpha''$ .
2 pts
b)
Représenter le plan $\beta$ d’équation :
$\left\{ \begin{aligned} x&=\lambda\\ y&=\mu\\ z&=2 \end{aligned} \right. \qquad (\lambda\ \text{et}\ \mu\in\mathbb{R}).$
1 pts
c)
En vous aidant de la figure ci-dessus, donner une équation de la droite $d$ , intersection des 2 plans $\alpha$ et $\beta$ .
2 pts
d)
Sur cette même figure, représenter le plan $\gamma$ dont l’équation est :
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}0\\3\\-3\end{pmatrix} +\eta\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \qquad (\delta\ \text{et}\ \eta\in\mathbb{R}).$
2 pts
e)
Déterminer les coordonnées du point $I$ , intersection de la droite $d$ et du plan $\gamma$ .
2 pts
f)
Représenter ce point $I$ sur la figure ci-dessus.
1 pts

Le même millésime existe en niveau renforcé : examen de maturité 2013 niveau renforcé.