Épreuve de maturité 2019 de maths, niveau standard

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2019, niveau standard. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2019 (niveau standard)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2019, niveau standard, comporte 5 problèmes (21 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	15	3
Problème 2	Géométrie plane	15	5
Problème 3 (à choix)	Probabilités	10	6
Problème 4 (à choix)	Analyse	10	2
Problème 5 (à choix)	Géométrie dans l'espace	10	5

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie vectorielle

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Probabilités

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2019 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

15 pts

Le graphe de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-9}{5-x}$ est donné ci-dessous.

a)
Préciser l’ensemble de définition, les coordonnées des points d’intersection avec les axes
de référence, les équations des asymptotes, l’expression de la dérivée et les coordonnées
des extrema.
7 pts
b)
Après avoir montré que la fonction $f$ peut s’écrire $f(x)=-x-5+\dfrac{16}{5-x}$ , donner une primitive de $f$ , puis déterminer l’aire de la surface fermée comprise entre le graphe de $f$ et la droite $y=7$ .
Hachurer cette surface sur le dessin ci-dessous.
5 pts
c)
Donner l’ensemble de définition et les équations des asymptotes de la fonction $g$ définie
par $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ , puis esquisser son graphe sur le dessin ci-dessous.

3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

On considère les cercles $c_{1}:(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=4$ et $c_{2}:x^{2}+y^{2}-2y-8=0$ ainsi que
la droite $d:4x+3y+7=0$ .

a)
Dessiner dans un système d’axes orthonormé les cercles $c_{1}$ et $c_{2}$ ainsi que la droite $d$ .
3 pts
b)
Vérifier par un calcul que la droite $d$ est tangente au cercle $c_{1}$ .
2 pts
c)
Donner l’équation de la droite parallèle à la droite $d$ et également tangente au cercle $c_{1}$ .
2 pts
d)
Vérifier par un calcul que les cercles $c_{1}$ et $c_{2}$ sont tangents, puis trouver l'équation d'une droite $t$ tangente aux 2 cercles.
4 pts
e)
Donner les coordonnées du point d’intersection de la droite $e$ d’équation $y=x$ et de la droite $d$ ainsi que des points d’intersection de la droite $e$ et du cercle $c_{2}$ .
4 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

À l’issue d’une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se
prononcer et les déclarer positifs ou négatifs à une substance testée. Or, certains produits
dopants restent indétectables aux contrôles et le test utilisé par le comité n’est pas fiable à
100%.

Plus précisément :

la probabilité qu’un sportif dopé soit déclaré positif est 0,99 ;
la probabilité qu’un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,005.

Le comité prend donc sa décision avec un risque d’erreur.

L’expérience a montré que, dans ce genre de compétition, 8% des participants sont dopés.

Lors d’une compétition, un sportif est choisi au hasard et contrôlé.

a)
Monter que la probabilité que ce sportif soit déclaré négatif est 0,9162.
2 pts
b)
Quelle est la probabilité que le comité ait commis une erreur ?

Le sportif a été déclaré négatif.
2 pts
c)
Quelle est la probabilité qu’il se soit néanmoins dopé ?

Le sportif a été déclaré positif.
2 pts
d)
Quelle est la probabilité que le comité n’ait pas commis d’erreur ?

Lors de cette même compétition, cinq nouveaux sportifs ont été choisis au hasard et contrôlés.
2 pts
e)
Quelle est la probabilité que les 5 sportifs soient déclarés négatifs ?
1 pts
f)
Quelle est la probabilité qu’au moins un sportif soit déclaré négatif ?
1 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

On dispose de 2 mètres de baguettes avec lesquels on souhaite encadrer
une surface formée d’un rectangle surmonté d’un triangle équilatéral.

Montrer que, si $x$ désigne la base du rectangle, alors l’aire de la surface totale est donnée par $A(x)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{3}{2}\right)x^{2}+x$ .
Quelle est l’aire de la surface maximale que l’on peut ainsi obtenir ?

Figure : examen de maturité 2019 (niveau standard), problème 4

a)
Expression de l'aire $A(x)$
6 pts
b)
Aire maximale
4 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes orthonormé $Oxyz$ proposé ci-dessous, on considère les points
$A(2;1;4)$ , $B(2;0;6)$ , $C(4;3;2)$ et $D(4;\dfrac{3}{2};5)$ .

a)
Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan $\alpha$ dont on demande une équation.
3 pts
b)
À partir de la figure, déterminer l’abscisse du point $E(\dots;9;8)$ .
1 pts
c)
Placer les points $A$ , $B$ et $C$ sur la figure ci-dessous.
1 pts
d)
Démontrer que le point $D$ appartient au plan $\alpha$ .
2 pts
e)
Déterminer les coordonnées du point $F$ défini par la relation vectorielle
$2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AC}$ .

3 pts

Le même millésime existe en niveau renforcé : examen de maturité 2019 niveau renforcé.