Épreuve de maturité 2018 de maths, niveau renforcé

Étudier complétement la fonction $f$, en traitant les points suivants :

• Domaine de définition de $f$, intersections éventuelles du graphe de $f$ avec les axes $Ox$ et $Oy$.
• Recherche des éventuelles asymptotes au graphe de $f$.
• Vérifier que la dérivée $f'$ est bien celle donnée au début de l’exercice et détermination du domaine de dérivabilité de $f$.
• Étude de la croissance de $f$. Recherche des éventuels extremums de $f$.
• Représentation graphique de $f$, en se limitant à des valeurs de $x$ comprises entre $-6$ et $2$.

Calculer l’aire du domaine fermé délimité par l’axe $Ox$ et le graphe de $f$.

Calculer l’équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ au point d’abscisse $x=1$.

Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $t$ avec $Ox$.

Calculer le nombre $w=\dfrac{(z_{2})^{2}}{(z_{1})^{5}}$. Donner la réponse sous forme algébrique.

Résoudre l'équation $z^{2}=z_{1}$. Donner les solutions sous forme algébrique.

Résoudre l'équation $z^{3}=z_{2}$. Donner les solutions sous forme trigonométrique.

On rappelle, pour la suite du problème, qu’un nombre $z_{0}$ est un point invariant d’une fonction $f$ s’il satisfait l’équation $f(z_{0})=z_{0}$.

On considère la fonction complexe $f(z)=z_{1}\cdot z+z_{2}$.

Déterminer le zéro de $f$.
Déterminer le point invariant de $f$.
Donner une interprétation géométrique de la fonction $f$.

Trouver la fonction polynomiale $g(z)$ du deuxième degré qui a les propriétés suivantes : $z_{1}=2i$ et $z_{2}=8i$ sont les zéros de $g$ et $z_{0}=4i$ est un point invariant de $g$.

On donne le polynôme $P(z)=z^{3}-11iz^{2}-26z+16i$.

Prouver que $z_{1}=2i$ et $z_{2}=8i$ sont des zéros de $P$, puis déterminer le troisième zéro de ce polynôme.

Déterminer les coordonnées de $A$, le point d’intersection de $d_{1}$ avec $d_{2}$. Vérifier la réponse.

Déterminer les coordonnées des sommets $B$, $C$ et $D$ du losange $ABCD$ situé entièrement dans le premier quadrant et construit de la manière suivante :

• le côté $AD$ est sur $d_{1}$ et le côté $AB$ est sur $d_{2}$ .
• la longueur des côtés est de $2\sqrt{10}$ .

Si on ne trouve pas les sommets de ce losange, on prendra les points suivants pour la suite du problème :

Calculer les angles ainsi que l’aire du losange $ABCD$.

On considère le cercle $\Gamma$ de rayon $r=\sqrt{10}-\sqrt{2}$, tangent aux droites $(AD)$ et $(AB)$ et intérieur au losange $ABCD$. Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ de $\Gamma$.

Montrer que le point $(6-\sqrt{5};8-\sqrt{5})$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABD$.

Calculer la probabilité qu’elle ait reçu le médicament $B$ ou qu’elle ait reçu le placebo.

Calculer la probabilité qu’elle ait reçu le médicament $A$ et qu’elle ne soit pas guérie.

Calculer la probabilité qu’elle soit guérie.

On constate qu’elle est guérie ; quelle est la probabilité que cette personne ait été traitée avec le placebo ?

Le fait qu’une personne soit guérie est-il indépendant du fait qu’elle ait été traitée avec le placebo ? Justifier la réponse.

On s’intéresse maintenant au médicament $B$, qui semble être le plus approprié pour traiter cette maladie. On a constaté qu’en pharmacie, le prix de ce médicament suit une loi normale de moyenne égale à 35.90 frs avec un écart-type de 4.50 frs.

Calculer la probabilité qu’une boîte achetée en pharmacie coûte plus de 38 frs.

Un nouveau médicament $M$ est arrivé sur le marché. On constate qu’avec le médicament $M$, le taux de guérison est de 80 %.

Calculer la probabilité que sur 6 personnes malades et traitées avec ce médicament $M$, plus de la moitié guérisse.

Calculer la plus petite valeur de $n$ ($n$ entier) pour laquelle la probabilité qu’au moins une personne parmi $n$ personnes ne guérisse pas avec ce médicament $M$ soit supérieure à 99%.

L’aire du rectangle est égale à $4\sqrt{2}$. Déterminer $x$ et $y$ pour que la somme des aires des deux disques soit minimale. Justifier que c’est bien un minimum.

Dans cette nouvelle question, on ne tient plus compte des disques. Sachant que la longueur de la diagonale du rectangle est égale à $2\sqrt{2}$, déterminer $x$ et $y$ pour que l’aire du rectangle soit maximale. Justifier que c’est bien un maximum.