Épreuve de maturité 2015 de maths, niveau renforcé

Calculer $f'(x)$, la dérivée de $f(x)$.

Déterminer l'équation de la tangente au graphe de $f$ en son point d'abscisse $x=1$.

Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le graphe de $f$ possède une tangente horizontale au point $H(e;-1)$.

Pour la suite du problème, on choisit XMATHOPEN4MATHCLOSEX et XMATHOPEN5MATHCLOSEX, donc XMATHOPEN6MATHCLOSEX.

Étudier la fonction $f$. On demande :

• L'ensemble de définition ;
• Les points d'intersection du graphe et des axes de référence ;
• Le tableau des signes de $f$ ;
• La limite à droite de $f$ en zéro ;
• Les coordonnées des éventuels points à tangente horizontale ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance.
• La représentation graphique dans un repère orthonormé.

Résoudre l'équation $f(x)=3$.

Déterminer les valeurs des constantes $A$, $B$ et $C$ de manière que la fonction

Hachurer la surface fermée délimitée par le graphe de $f$ et l'axe des abscisses, puis calculer son aire.

Vérifier que les vecteurs $v=\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}$ et $w=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ sont des vecteurs propres de $f$.
En déduire les valeurs propres de $f$.

Pour la suite du problème, on pose XMATHOPEN4MATHCLOSEX et XMATHOPEN5MATHCLOSEX. Donc, XMATHOPEN6MATHCLOSEX est définie par la matrice XMATHOPEN7MATHCLOSEX.

Donner une interprétation géométrique précise de l'application linéaire $f$.

On définit une autre application linéaire $g$ par sa matrice

Déterminer les valeurs propres de $g$. Donner un vecteur propre associé à chaque valeur propre de $g$.

Donner la matrice de l'application linéaire réciproque de $g$.

Calculer la matrice $C$ associée à l'application linéaire $f\circ g^{-1}$. Déterminer le noyau de $f\circ g^{-1}$.

Dans cette première question, l'aire du rectangle vaut $4$. Trouver les dimensions de ce rectangle sachant que la somme des volumes $V_{1}$ et $V_{2}$ est minimale.

Dans cette deuxième question, le périmètre du rectangle vaut $4$. Trouver les dimensions de cet autre rectangle sachant que le produit des volumes $V_{1}$ et $V_{2}$ est maximal.
Indication. Vérifier que le produit des volumes peut s'écrire $\pi^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)^{3}$.

Déterminer par calcul si le point $P\left(1\,;\,\frac{5}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)$ appartient au plan $\alpha$.

On appelle $A$, $B$ et $C$ les points d'intersection respectifs du plan $\alpha$ avec les axes $O_x$, $O_y$ et $O_z$. Vérifier que ces points sont $A(4\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,5)$.
Calculer l'aire du triangle $ABC$.

Déterminer les coordonnées du point du plan $\alpha$ qui est le plus proche de l'origine $O(0\,;\,0\,;\,0)$.

Calculer la distance de l'origine $O$ à la droite $(AB)$.

Déterminer les équations paramétriques de la droite $d$ qui passe par le point $Q(2\,;\,3\,;\,2)$ et qui est parallèle à la fois au plan $\alpha$ et au plan $(OAB)$.

Calculer l'angle aigu formé par les deux plans $\alpha$ et $\beta$, où $\beta$ est le plan qui passe par l'origine $O$ et dont un vecteur normal est $\vec n_{\beta}=\begin{pmatrix}-15\\ 10\\ 12\end{pmatrix}$.

Calculer la probabilité qu'il y ait le même nombre d'appareils de chaque couleur dans la camionnette.

Calculer la probabilité que tous les appareils dans la camionnette soient de la même couleur.

Calculer la probabilité que le livreur ait chargé au moins deux appareils bleus.

La durée de vie des appareils rouges suit une loi normale de moyenne $\mu=174$ jours et d'écart-type $\sigma=29$.

Calculer la probabilité que la durée de vie d'un appareil rouge soit comprise entre $205$ et $225$ jours.

Sur $200$ appareils rouges, combien de ceux-ci, en moyenne, auront-ils une durée de vie de plus de $160$ jours ?

Déterminer le nombre de jours à partir duquel la probabilité qu'un appareil rouge fonctionne encore est inférieure à $10\%$.