Épreuve de maturité 2021 de maths, niveau renforcé

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2021, niveau renforcé. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2021 (niveau renforcé)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2021, niveau renforcé, comporte 5 problèmes (34 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	12	6
Problème 2	Suites	14	7
Problème 3 (à choix)	Géométrie plane	12	6
Problème 4 (à choix)	Algèbre linéaire	12	7
Problème 5 (à choix)	Suites	12	8

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Suites Géométrie analytique Algèbre linéaire

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Suites Quiz Algèbre linéaire

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2021 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

12 pts

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{3}+6x^{2}}{x^{3}-8}$ .

a)
Établir le tableau des signes de $f$ et donner l’équation de toutes les asymptotes au graphe de $f$ .
2 pts
b)
Calculer la dérivée de $f$ , puis montrer qu’elle peut être écrite sous la forme
$f'(x)=\frac{-6x(x+2)\bigl(x^{2}-2x+8\bigr)}{\bigl(x^{3}-8\bigr)^{2}}.$
2 pts
c)
À l’aide d’un tableau, étudier la croissance de $f$ en précisant les coordonnées des extremums du graphe de $f$ .
2 pts
d)
Représenter le graphe de $f$ dans un repère orthonormé en choisissant une unité égale à deux carreaux. Faire figurer les asymptotes.
2 pts
e)
Donner l’équation de la tangente $t_{1}$ au graphe de $f$ au point d’abscisse $x=1$ .

On considère maintenant la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{6x^{2}}{x^{3}-8}$ .
2 pts
f)
Calculer $\displaystyle \int_{0}^{1} g(x)\,dx$ .
2 pts

Problème 2 — Suites

14 pts

Gaston possède une boîte qui contient 10 pièces de 5 francs.
Il y a trois sortes de pièces : 5 pièces normales, 2 pièces truquées qui présentent face des deux côtés et 3 pièces truquées qui présentent pile des deux côtés.

a)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance.
Montrer que la probabilité que face apparaisse vaut $\dfrac{9}{20}$ .
2 pts
b)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance. La pièce présente le côté pile. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée ?
2 pts
c)
Gaston prend au hasard une pièce de sa boîte et la lance 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que face apparaisse exactement 2 fois ?

Gaston sépare ses pièces en deux groupes : les pièces normales et les pièces truquées.
2 pts
d)
Il prend les 5 pièces normales et les lance. Quelle est la probabilité qu’au moins une des pièces présente face ?
2 pts
e)
Il prend sans les regarder les 5 pièces truquées et les aligne devant lui. Quelle est la probabilité que les deux pièces qui présentent face des deux côtés ne soient pas voisines ?

Gaston remet toutes les pièces dans sa boîte et prend au hasard 2 pièces.
2 pts
f)
Quelle est la probabilité que les 2 pièces soient de la même sorte ? On rappelle qu’il y a 3 sortes de pièces.

Gaston remet encore une fois toutes les pièces dans la boîte pour l’expérience suivante :
Il prend au hasard une pièce qu’il lance. Il regarde si la pièce présente pile ou face et la remet dans la boîte.
Si la pièce a montré le côté pile, il répète l’expérience. Sinon, il l’arrête.
Appelons $X$ le nombre de lancers nécessaire pour obtenir face. Nous savons déjà [voir a)] que $P(X=1)=\dfrac{9}{20}$ .
2 pts
g)
Calculer $P(X=2)$ et $P(X=3)$ .
2 pts

Problème 3 — Géométrie plane

12 pts

On donne les points $A(0\,;\,3\,;\,-2)$ , $B(1\,;\,2\,;\,2)$ , $C(-3\,;\,1\,;\,5)$ et $D(12\,;\,-3\,;\,5)$ .

a)
Calculer l’aire du triangle $ABC$ .
2 pts
b)
Calculer l’angle formé par le plan $(ABC)$ et la droite $(AD)$ .
2 pts
c)
Déterminer les coordonnées du point $E$ de la droite $(AB)$ qui est le plus proche du point $C$ .
2 pts
d)
Prouver qu’il n’existe pas de point $F$ de la droite $(CD)$ tel que le triangle $ABF$ soit rectangle en $F$ .
2 pts
e)
Prouver que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont gauches.
2 pts
f)
Déterminer l’équation cartésienne du plan $\alpha$ tel que tous les points des droites $(AB)$ et $(CD)$ soient équidistants de ce plan.
2 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

12 pts

On considère l’application linéaire $f$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ donnée par sa matrice

M=\begin{pmatrix} \alpha+2 & 2\\ 2 & \alpha-1 \end{pmatrix}

relativement à une base orthonormée

B=(\tilde e_{1},\tilde e_{2})

a)
Existe-t-il un nombre $\alpha$ pour lequel $f(2\tilde e_{1}-3\tilde e_{2})=2\tilde e_{1}+\tilde e_{2}$ ? Si oui, donner ce nombre.
2 pts
b)
Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha$ l’application $f$ est-elle bijective ?
2 pts
c)
Montrer que le vecteur $\tilde v=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $f$ pour tout $\alpha\in\mathbb{R}$ . Donner la valeur propre associée au vecteur propre $\tilde v$ .
2 pts
d)
Pour $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ , on a
$M=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} & 2\\ 2 & -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}.$
Calculer $f^{2}=f\circ f$ et en donner une interprétation géométrique.

Pour la suite du problème, on pose $\alpha=3$ . Donc, $f$ est définie par la matrice
$M=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.$
2 pts
e)
Déterminer les valeurs propres de $f$ . Donner un vecteur propre associé à chaque valeur propre.
2 pts
f)
Donner la matrice de l’application réciproque de $f$ .
1 pts
g)
Déterminer le vecteur $\tilde v$ tel que $f(\tilde v)=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$ .
1 pts

Problème 5 — Suites

12 pts

Considérons la suite $(u_{n})$ , définie par la relation de récurrence :
$u_{0}=1$ , et pour tout nombre $n>0$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2u_{n}+1}$ .

a)
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
1 pts
b)
L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Pour tout nombre entier $n>0$ , $u_{n}$ est strictement positif. »
(Justifier la réponse.)

Pour tout entier naturel $n$ , on définit une nouvelle suite $(v_{n})$ par : $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$ .
1 pts
c)
Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique, en précisant la valeur de son premier terme $v_{0}$ et sa raison.
2 pts
d)
Déterminer l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

On définit une nouvelle suite $(w_{n})$ par :
$w_{n}=2^{-1-2n}$ , pour tout entier naturel $n$ .
2 pts
e)
Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ , en précisant la valeur de son premier terme $w_{0}$ .
1 pts
f)
Quel est le premier terme de cette suite qui est strictement inférieur à $10^{-25}$ ?
2 pts
g)
Cette suite $(w_{n})$ converge-t-elle ? Si oui, que vaut sa limite ?
1 pts
h)
Que vaut la somme infinie des termes de cette suite $(w_{n})$ ?
2 pts

Le même millésime existe en niveau standard : examen de maturité 2021 niveau standard.