Épreuve de maturité 2014 de maths, niveau renforcé

Justifier que $\mathbf{IR}$ est bien l'ensemble de définition de $f$, puis déterminer ses asymptotes.

Vérifier que

Calculer $f(-1)$, puis tracer le graphe de $f$ dans un repère orthonormé.

Calculer l'angle $\theta$ entre les tangentes aux deux points du graphe d'abscisses $0$ et $1$ respectivement.

Les candidats ont le droit de traiter les questions dans l'ordre de leur choix. Dans combien d'ordres différents Bertrand peut-il traiter toutes les questions ?

Si l'on exige de plus que toutes les questions d'un même sujet soient traitées à la suite, mais dans l'ordre que l'on veut, dans combien d'ordres différents Ludivine peut-elle traiter toutes les questions ?

Si l'on demande aux candidats de ne traiter qu'une seule question de chacun des cinq sujets.

De combien de manières différentes Christian peut-il choisir les questions et dans combien d'ordres différents peut-il alors les traiter ?

Léa a choisi 5 questions au hasard, quelle est la probabilité qu'elle ait fait un choix compatible avec la consigne de la question 2.3 ?

Les rédacteurs de l'examen estiment que la probabilité qu'un candidat obtienne une note suffisante est de 58 %.

Calculer la probabilité qu'exactement trois quarts des élèves du lycée obtiennent une note suffisante à cet examen, sachant qu'il y a 60 élèves qui passent l'examen de maturité dans cet établissement scolaire.

En utilisant l'approximation par la loi normale, déterminer la probabilité pour que moins de 45 % de ces 60 élèves obtiennent une note insuffisante à cet examen.

La société pour l'Encouragement des Mathématiques décide d'offrir un prix aux meilleurs des 375 candidats de la région. Pour l'obtenir, il convient de figurer parmi les 8% des meilleurs résultats. Sachant que cet examen est noté sur 180 points, que les résultats des candidats suivent une loi normale de moyenne 104 points et d'écart-type de 23 points, déterminer combien il faut obtenir de points au minimum pour décrocher ce prix.

En utilisant l'intégration par parties, montrer que : $I_k=\dfrac{1}{k(k+1)}$.

On pose $S_n = I_1 + I_2 + \ldots + I_n$. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

Prouver à l'aide d'une démonstration par récurrence que $S_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Montrer que la suite $\{S_n\}$ est strictement croissante et calculer \ $S_\infty=\lim_{n\to\infty} S_n$.

Vérifier que 2 est une solution de cette équation.

Déterminer toutes les solutions de cette équation. Donner ces solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

Représenter les nombres complexes $a=-2-2i$, $b=2$, $c=2+4i$ et $d=-2+2i$ dans le plan de Gauss et prouver que $abcd$ forme un parallélogramme.

Appelons $e$ l'image du nombre $c$ par la rotation de centre $b$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et

$f$ l'image du nombre $c$ par la rotation de centre $d$ et d'angle $+\dfrac{\pi}{2}$.

Calculer $e$ et $f$, puis les représenter dans le plan de Gauss.

Montrer que : $\dfrac{f-a}{e-a}=i$.

Montrer que le triangle $aef$ est isocèle en $a$ et rectangle en $a$, en comparant les modules et les arguments des deux membres de l'égalité de la question 4.5.

Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

Déterminer les équations paramétriques de la droite $d$, perpendiculaire au triangle $ABC$ et passant par le sommet $C$ de ce triangle.

Montrer que l'équation cartésienne du plan $\alpha$ contenant le triangle $ABC$ est : \ $4x+3y-3z-12=0$.

Calculer l'aire du triangle $ABC$, la distance du point $D$ au plan $\alpha$ ainsi que le volume du tétraèdre $ABCD$.

On considère un deuxième plan $\beta$, d'équation $6x+3y+2z-18=0$ et le point $E(7;9;-1)$.

Calculer l'angle aigu $\varphi$ entre le plan $\beta$ et le plan contenant les axes $Oy$ et $Oz$.

Le point $S(-1;1;3)$ est le symétrique du point $E$ par rapport à un plan $\pi$. Déterminer une équation cartésienne de ce plan $\pi$.