Épreuve de maturité 2019 de maths, niveau renforcé

Déterminer le domaine de définition $D$ de cette fonction.

Calculer les éventuelles intersections du graphe de $f$ avec l’axe $Ox$, respectivement avec l’axe $Oy$.

Déterminer les équations de toutes les asymptotes au graphe de $f$.

Montrer que la dérivée de $f$ est donnée par $f'(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}(1-\ln(x))^{2}}$.

Étudier la croissance de $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.

Représenter le graphe de $f$ sans oublier les asymptotes.

On appelle $t$ la droite tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $x=e^{2}$.

Établir son équation en donnant la valeur exacte des coefficients, puis déterminer le point d’intersection de $t$ et de l’axe $Ox$.

La représentation graphique de cette droite $t$ n’est pas demandée.

Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$.

Suggestion : effectuer la substitution $u=1-\ln(x)$.

Déterminer les zéros de cette fonction.

Déterminer les solutions de l’équation $f(z)=4+18i$.

Déterminer le nombre $w$ pour lequel l’équation $f(z)=w$ n’a qu’une solution (ou deux solutions confondues), puis donner cette solution.

On pose $f(x+yi)=u+vi$ avec $x,y,u,v\in\mathbb{R}$.

Montrer que $u=x^{2}-y^{2}-2y+3$ et $v=2xy+2x$.

Prouver que l’image par $f$ d’un nombre purement imaginaire, donc de la forme $z=yi$, est un nombre réel, puis déterminer l’image par $f$ de l’axe imaginaire.

L’image par $f$ de l’axe réel est une parabole dont l’axe de symétrie est l’axe réel.

Donner une équation de cette parabole.

Déterminer l’image réciproque de l’axe réel, c’est-à-dire l’ensemble des nombres $z\in\mathbb{C}$ tels que $f(z)\in\mathbb{R}$.

Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes et donner les coordonnées du point d’intersection $I$ de ces deux droites.

Calculer l’angle aigu formé par les droites $d_{1}$ et $d_{2}$.

Donner l’équation cartésienne du plan $\alpha$ contenant les droites $d_{1}$ et $d_{2}$.

On appelle $p$ la droite qui est parallèle à $d_{1}$ et qui passe par l’origine $O(0;0;0)$ et on appelle $n$ la droite qui passe par l’origine $O(0;0;0)$ et qui coupe $d_{1}$ à angle droit en un point appelé $A$.

Déterminer le point d’intersection $A$ des droites $d_{1}$ et $n$.

Calculer la distance entre les droites $d_{2}$ et $p$.

Calculer la distance entre les droites $d_{1}$ et $p$.

Donner l’équation cartésienne du plan formé des points équidistants de la droite $d_{1}$ et de la droite $p$.

Si l’aire totale du silo est de $200\pi\ \mathrm{m}^{2}$, pour quelle valeur de $r$ le volume du silo est-il maximal ? Que vaut alors $h$ ?

Si un joueur introduit une pièce de 1 franc, calculer la probabilité que la machine ne distribue rien.

Calculer la moyenne de la variable aléatoire qui exprime le bénéfice réalisé par un joueur qui introduit une fois 1 franc. Ce jeu est-il équitable ? Sinon, à qui est-il profitable ?

Gaston joue 8 fois. Quelle est la probabilité que la machine lui distribue de l’argent 2 fois ?

Combien de fois, au minimum, Gaston doit-il jouer pour que la probabilité que la machine lui distribue au moins une fois un billet de 10 francs dépasse 90% ?

Gaston joue 2 fois. Quelle est la probabilité, qu’au final, il ne fasse ni bénéfice ni perte ?

Gaston joue 3 fois. Quelle est la probabilité, qu’au final, il fasse un bénéfice total de 9 francs ?

Gaston décide de jouer jusqu’à ce que la machine lui distribue un billet de 10 francs. Quelle est la probabilité qu’il doive jouer plus de 5 fois ?

Jules, sans le sou, aperçoit son ami Gaston et lui fait la demande suivante : « J’aimerais jouer encore 2 fois avant de partir. Prête-moi 2 francs s’il te plaît. Je te les rendrai quand j’aurai joué ». Si Gaston accède à la demande de Jules, quelle est la probabilité que ce dernier gagne suffisamment pour lui rendre la somme prêtée après avoir joué 2 fois ?

Sachant que Gaston a joué deux fois et que, à chaque fois la machine lui a distribué de l’argent, calculer la probabilité qu’il ait empoché au moins une fois un billet de 10 francs.