Épreuve de maturité 2012 de maths, niveau renforcé

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2012, niveau renforcé. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2012 (niveau renforcé)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2012, niveau renforcé, comporte 5 problèmes (25 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	17	6
Problème 2	Géométrie	13	7
Problème 3 (à choix)	Probabilités	10	5
Problème 4 (à choix)	Algèbre linéaire	10	5
Problème 5 (à choix)	Analyse	10	2

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Algèbre linéaire

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Probabilités Quiz Algèbre linéaire

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2012 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

17 pts

On considère une fonction $f$ telle que :

$f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ ;
l’ordonnée à l’origine de $f$ vaut $-1$ ;
la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ , est donnée par la formule :

f'(x)= \begin{cases} x e^{x} & \text{si } x<0,\\ \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x+3} & \text{si } x\ge 0. \end{cases}

a)
La fonction dérivée $f'$ est-elle continue en $x=0$ ?
2 pts
b)
Déterminer la fonction $f$ lorsque $x<0$ et lorsque $x\ge 0$ .
4 pts
c)
Etudier la variation de la fonction $f$ et donner les coordonnées de ses éventuels extremums.
3 pts
d)
Etudier la courbure de la fonction $f$ et donner l’abscisse de ses éventuels points d’inflexion.
3 pts
e)
Représenter la fonction $f$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $-4$ et $4$
(2 cm par unité pour l’axe $Ox$ et 8 cm par unité pour l’axe $Oy$ ).
3 pts
f)
Déterminer l’équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ au point d’abscisse $3$ .
2 pts

Problème 2 — Géométrie

13 pts

Sur une carte de géographie, un vélodrome circulaire est représenté par un cercle $\Gamma$ d’équation

\Gamma : x^{2}+y^{2}-16x-16y+103=0

Le point de départ se situe en

D(11\,;\,4)

. Une ligne électrique qui survole le vélodrome est aussi représentée sur la carte par une droite

e

d’équation

4x-3y-10=0

a)
Vérifier que le point $D$ appartient au cercle $\Gamma$ .
1 pts
b)
Déterminer le rayon $r$ et les coordonnées du centre $C$ du cercle $\Gamma$ .
2 pts
c)
Un chemin rectiligne représenté par une droite $d$ est tangent au cercle $\Gamma$ au point $D$ . Déterminer l’équation de cette tangente $d$ .
2 pts
d)
La ligne électrique survole-t-elle exactement le centre $C$ du vélodrome ? Justifier la réponse par calcul.
1 pts
e)
Calculer les coordonnées du point d’intersection $I$ des droites $e$ et $d$ .
2 pts
f)
Montrer qu’il existe un cercle $\Gamma'$ centré en $E(2\,;\,\dfrac{7}{2})$ qui est tangent à la fois au cercle $\Gamma$ et à la droite $e$ . Donner l’équation de ce cercle $\Gamma'$ .
3 pts
g)
Représenter le cercle $\Gamma$ , le point $D$ , la droite $e$ , la droite $d$ et le cercle $\Gamma'$ dans un repère d’unité 1 cm. Placer l’axe $Oy$ à 3 cm du bord gauche de la feuille.
2 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Au “Cirque des Belles Planètes”, la ménagerie compte 6 chevaux blancs, 5 chevaux noirs, 9 chevaux gris, 4 superbes tigres, 8 canards, 7 otaries, 1 petite girafe et 1 vieil éléphant.
Chaque jour, le cirque organise pour les visiteurs une promenade en calèche, tirée par deux chevaux. Le cocher de cette calèche choisit au hasard parmi tous les chevaux les deux qui seront de service.

a)
Calculer la probabilité des événements suivants :
- A : “Les deux chevaux choisis sont blancs”.
- B : “L’un des deux chevaux, au moins, est blanc”.
- C : “Les deux chevaux sont de la même couleur”.
2 pts
b)
Sachant que les deux chevaux de l’attelage sont de couleurs différentes, calculer la probabilité que l’un soit blanc.
2 pts
c)
Eric, qui adore les chevaux, vient trois jours de suite pour effectuer une promenade en calèche. Calculer la probabilité que les deux chevaux soient un seul jour de la même couleur.
2 pts
d)
On estime que la durée de ces promenades en calèche est une variable aléatoire $X$ de moyenne 72 minutes et d’écart-type 150 secondes. Calculer la probabilité que la promenade d’aujourd’hui dure entre 71 et 75 minutes.
2 pts
e)
Déterminer le temps $t$ pour lequel la probabilité qu’une promenade dure plus que $t$ minutes est égale à 80,511 %.
2 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

10 pts

On donne une application linéaire $f$ par sa matrice

A= \begin{pmatrix} 5 & -4\\ 6 & -5 \end{pmatrix}.

a)
Déterminer les valeurs propres de $f$ . Déterminer un vecteur propre associé à chacune des valeurs propres de $f$ .
2 pts
b)
Donner une interprétation géométrique précise de l’application $f$ .

On définit une autre application linéaire $g$ par sa matrice
$B= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
2 pts
c)
Montrer que le vecteur
$w= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$
est un vecteur propre de $g$ et donner la valeur propre correspondante.
1 pts
d)
Calculer la matrice associée à l’application linéaire $g\circ f$ .
Déterminer tous les vecteurs propres de $g\circ f$ .
3 pts
e)
Calculer le noyau de l’application linéaire $f-g$ .
Déterminer également les matrices $(A-B)^{n}$ où $n$ est un entier positif non nul.
2 pts

Problème 5 — Analyse

10 pts

On considère un losange dont les demi-diagonales sont de longueur $x$ et $y$ , comme illustré sur la figure ci-dessous. Le périmètre du losange est de 20 cm.

a)
Déterminer les longueurs $x$ et $y$ des demi-diagonales pour lesquelles l’aire de ce losange est maximale.
6 pts
b)
Prouver que l’aire obtenue est bien l’aire maximale et donner la valeur de cette aire maximale.

4 pts

Le même millésime existe en niveau standard : examen de maturité 2012 niveau standard.