Épreuve de maturité 2009 de maths, niveau renforcé

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2009, niveau renforcé. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2009 (niveau renforcé)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2009, niveau renforcé, comporte 5 problèmes (18 sous-questions) pour un total de 61 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	14	3
Problème 2	Géométrie plane	14	6
Problème 3 (à choix)	Probabilités	11	2
Problème 4 (à choix)	Algèbre linéaire	11	4
Problème 5 (à choix)	Nombres complexes	11	3

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Algèbre linéaire Nombres complexes

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Probabilités Quiz Algèbre linéaire Quiz Nombres complexes

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2009 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

14 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=e^{2x}-4e^{x}+3$ .

a)
Étudier la fonction $f$ en traitant les points suivants :
- le domaine de définition de $f$ , les zéros et le signe de $f$ ;
- les asymptotes éventuelles de $f$ ;
- la dérivée $f'(x)$ et la dérivée seconde $f''(x)$ ;
- les intervalles de croissance/décroissance de $f$ ainsi que les coordonnées de ses extremums et points d'inflexion éventuels ;
- la représentation graphique de $f$ .
8 pts
b)
Écrire l'équation de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $x=0$ et la représenter sur le graphique de $f$ .
3 pts
c)
Déterminer la valeur exacte de l'aire du domaine fermé borné $D$ limité par le graphe de $f$ , la droite $y=1$ et les droites verticales $x=0$ et $x=\ln(3)$ .
3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

14 pts

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère un triangle $ABC$ dont on donne le cercle circonscrit $\gamma : 4x^{2}+4y^{2}-16x+12y-100=0$ , la droite $AB : x+2y-9=0$ et le sommet $C(-3\ ;\ -4)$ .

a)
Déterminer le centre et le rayon du cercle $\gamma$ .
2 pts
b)
Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$ sachant que l'ordonnée de $A$ est inférieure à celle de $B$ .
3 pts
c)
Calculer les angles intérieurs du triangle $ABC$ .
3 pts
d)
Calculer l'aire du triangle $ABC$ .
2 pts
e)
Déterminer le centre et le rayon du cercle $\eta$ inscrit dans le triangle $ABC$ et donner l'équation de $\eta$ .
3 pts
f)
Faire une figure soignée illustrant la résolution du problème.
1 pts

Problème 3 — Probabilités

11 pts

Dans un salon de jeu se trouvent 4 machines à sous $A$ , $B$ , $C$ et $D$ . La probabilité qu'un joueur gagne lorsqu'il est opposé à l'une des machines $B$ , $C$ , $D$ est égale à $0.3$ . Cette probabilité vaut $0.6$ avec la machine $A$ qui est déréglée.

Un joueur choisit au hasard une machine et fait une partie.

Un joueur fait 4 parties sur la machine $A$ .

c)
En choisissant la machine $A$ , quel est le nombre minimal de parties à jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à $0.999$ ?
2 pts
d)
Deux amis choisissent d'utiliser la machine $B$ et conviennent de jouer à tour de rôle jusqu'à ce que l'un d'eux gagne.
Quelle est la probabilité que le joueur qui commence gagne à sa troisième partie ?
2 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

11 pts

Dans $\mathbb{R}^{2}$ , muni de sa base canonique, on considère la famille d'applications linéaires $f_m$ données par leur matrice

F_m= \begin{pmatrix} m-2 & 2\\ m-3 & 2m-7 \end{pmatrix} ,\quad m\in\mathbb{R}.

a)
Déterminer les valeurs du réel $m$ pour lesquelles l'application $f_m$ n'est pas bijective. Préciser pour la plus grande des valeurs $m$ trouvées le noyau et l'image de $f_m$ .
3 pts
b)
Déterminer la matrice inverse de $F_0$ .
2 pts
c)
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'application $f_3$ . En déduire que $f_3$ est une affinité dont on précisera l'axe, la direction et le rapport.
3 pts
d)
Déterminer le réel $\lambda\neq 0$ pour que $(\lambda\cdot F_4)^{2}=\lambda\cdot F_4$ .
3 pts

Problème 5 — Nombres complexes

11 pts

On considère le polynôme à coefficients complexes

g(z)=(az+1-i)\bigl(z^{2}+(-3+i)z+4-3i\bigr).

a)
Déterminer le nombre complexe $a$ tel que $g(1)=4-4i$ .
3 pts
b)
Résoudre l'équation $z^{2}+(-3+i)z+4-3i=0$ .
3 pts
c)
Déterminer les solutions de l'équation $z^{3}=1-2i$ sous forme trigonométrique et algébrique.
5 pts

Le même millésime existe en niveau standard : examen de maturité 2009 niveau standard.