Épreuve de maturité 2008 de maths, niveau renforcé

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2008, niveau renforcé. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2008 (niveau renforcé)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2008, niveau renforcé, comporte 5 problèmes (30 sous-questions) pour un total de 62 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Géométrie dans l'espace	12	6
Problème 2	Analyse	14	6
Problème 3 (à choix)	Suites	12	4
Problème 4 (à choix)	Algèbre linéaire	12	7
Problème 5 (à choix)	Algèbre linéaire	12	7

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Géométrie dans l'espace Analyse Suites Algèbre linéaire

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Suites Quiz Algèbre linéaire

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2008 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Géométrie dans l'espace

12 pts

Considérons les deux plans $\pi_1$ et $\pi_2$ donnés par les équations :

\begin{aligned} \pi_1 &: 2x + y - z = 2\\ \pi_2 &: x + 3y + 7z = 11 \end{aligned}

a)
Calculer l'angle aigu $\theta$ que forment ces deux plans $\pi_1$ et $\pi_2$ .
2 pts
b)
Donner des équations paramétriques de la droite $d_1$ formée par l'intersection des plans $\pi_1$ et $\pi_2$ .

Pour tout nombre réel $\alpha$ , considérons la sphère $\Sigma_\alpha$ définie par : $(x-\alpha)^2 + (y-2\alpha)^2 + z^2 = 81$ .
2 pts
c)
Montrer que les centres de toutes ces sphères $\Sigma_\alpha$ se trouvent sur une même droite $d_2$ et donner des équations paramétriques de $d_2$ .
1 pts
d)
Prouver que toutes ces sphères $\Sigma_\alpha$ présentent comme intersection avec le plan d'équation $z=0$ des cercles de même rayon, et donner la valeur de ce rayon.
2 pts
e)
Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $\alpha$ ces sphères $\Sigma_\alpha$ possèdent plus d'un point commun avec le plan d'équation $y=0$ .
2 pts
f)
On note $C_\alpha$ le centre de la sphère $\Sigma_\alpha$ .
Trouver la valeur de $\alpha$ pour laquelle la distance du point $A(-3;14;8)$ à $C_\alpha$ est minimale.
En déduire la distance de $A$ à cette sphère $\Sigma_\alpha$ .
Calculer le point $B$ sur cette sphère $\Sigma_\alpha$ qui est le plus proche du point $A$ .
3 pts

Problème 2 — Analyse

14 pts

Soit la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (x-a)\cdot\ln(x-a)$ , où $a$ est une constante.

a)
Calculer les fonctions dérivées $f'$ et $f''$ .
2 pts
b)
Montrer que le graphe de $f$ ne possède pas de point d'inflexion, quelle que soit la valeur de la constante $a$ .
1 pts
c)
Trouver la valeur de $a$ pour laquelle le graphe de $f$ possède un point à tangente horizontale d'abscisse égale à $\dfrac{2}{e}$ .

Pour toute la fin du problème, on pose $a=\dfrac{1}{e}$ .
2 pts
d)
Procéder à une étude complète de la fonction $f$ , en traitant les points suivants :
- le domaine de définition de $f$ ;
- les tableaux de signe de $f$ et de $f'$ ;
- les zéros et les extrema, ainsi que les domaines de croissance/décroissance de $f$ ;
- les limites : $\displaystyle \lim_{x\to e^{-1}} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to e^{-1}} f'(x)$ ;
- la représentation graphique de $f$ .
5 pts
e)
Établir l'équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ , sachant que la pente de $t$ est égale à 1.
2 pts
f)
On considère la surface $S$ délimitée par le graphe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1+\dfrac{1}{e}$ et $x=2$ . Hachurer cette surface $S$ sur votre graphique, puis calculer son aire.
2 pts

Problème 3 — Suites

12 pts

On pose $(x_1;y_1)=(2;1)$ et on définit par récurrence la suite $(x_n;y_n)$ ainsi :

(x_{n+1};y_{n+1})=(2x_n+3y_n;\,x_n+2y_n),\quad \text{pour tout nombre entier } n\ge 1.

On considère également la suite $(u_n)$ définie par : $u_n=\dfrac{x_n}{y_n}$ , pour tout nombre entier $n\ge 1$ .

a)
Calculer $(x_2;y_2)$ , $(x_3;y_3)$ , $(x_4;y_4)$ , $(x_5;y_5)$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ .
3 pts
b)
Montrer par récurrence que $y_n>2^{n-1}$ , pour tout nombre entier $n>1$ .
3 pts
c)
Montrer par récurrence que $(x_n)^2-3(y_n)^2=1$ , pour tout nombre entier $n>1$ .
En déduire que $\displaystyle (u_n)^2-3=\frac{1}{(y_n)^2}$ , pour tout nombre entier $n>1$ .
3 pts
d)
Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{3}$ .
3 pts

Problème 4 — Algèbre linéaire

12 pts

Au collège des Sapins, dans la classe de terminale T1, il y a 25 élèves, dont 15 garçons. Pour s'assurer que les élèves travaillent régulièrement, le professeur de mathématiques interroge à chaque cours un élève choisi au hasard. Cependant, le professeur ne se souvient pas de l'élève interrogé d'une leçon à l'autre, ce qui fait qu'à chaque fois, tous les élèves ont la même probabilité d'être interrogés.

a)
Calculer la probabilité que l'élève interrogé lors du premier cours de l'année soit un garçon.
1 pts
b)
Calculer la probabilité que l'élève interrogé lors du huitième cours de l'année soit une fille.
1 pts
c)
Calculer la probabilité que 4 filles et 6 garçons soient interrogés durant les 10 prochains cours.
2 pts
d)
Calculer le plus petit nombre entier $n$ pour lequel la probabilité qu'aucun garçon ne soit interrogé durant $n$ cours consécutifs est inférieure à $0{,}002\,\%$ .
3 pts
e)
Si le trimestre comporte 35 leçons, calculer le nombre moyen de filles qui seront interrogées.
1 pts
f)
Lors de l'examen de maturité oral, les probabilités respectives de tirer une question de géométrie, de probabilités, d'algèbre linéaire ou d'analyse forment une progression géométrique de raison 3. Il n'y a pas d'autres sujets possibles.
Calculer la probabilité qu'un candidat tire une question portant sur l'algèbre linéaire.
2 pts
g)
Après des années d'expérience, on a constaté que le temps utilisé par les élèves pour répondre aux questions de l'examen écrit de maturité est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 208 minutes et d'écart-type 18 minutes.
Quelle est la probabilité qu'un élève rende sa copie avant 190 minutes ?
2 pts

Problème 5 — Algèbre linéaire

12 pts

Dans $\mathbb{R}^3$ muni d’une base orthonormée, la transformation $f$ est donnée par
Dans $\mathbb{R}^3$ muni d'une base orthonormée, une transformation $f$ est donnée par sa matrice $F$ :

F=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\ -2 & 1 & -2\\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Soient les vecteurs

\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}

\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}

et la matrice

G=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

a)
Calculer $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ , où « $\times$ » désigne le produit vectoriel.
1 pts
b)
Trouver les images par $f$ des vecteurs $\vec{a}$ , $\vec{b}$ et $\vec{c}$ .
2 pts
c)
Résoudre l'équation $f(\vec{v})=\vec{v}$ , où $\vec{v}$ désigne un vecteur de $\mathbb{R}^3$ .
1 pts
d)
Montrer que $f$ est une symétrie orthogonale par rapport à un plan $\alpha$ et donner l'équation de ce plan $\alpha$ .
2 pts
e)
Trouver l'image par $f$ du plan $\beta$ d'équation $2x-3y+z=0$ .
2 pts
f)
Considérons l'application $g$ donnée par la matrice $G$ ci-dessus. La transformation $h$ est définie par la relation $h=g\circ f$ . Donner la matrice $H$ de $h$ .
2 pts
g)
Vérifier que $h(\vec{d})=\vec{d}$ , pour $\vec{d}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ .
2 pts

Le même millésime existe en niveau standard : examen de maturité 2008 niveau standard.