Épreuve de maturité 2006 de maths, niveau renforcé

5 problèmes · durée 240 min · niveau renforcé (Suisse romande)

Énoncé de l'épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité, session 2006, niveau renforcé. MatuMath est un outil de révision indépendant, sans lien avec le SEFRI ni avec la Commission suisse de maturité. Le corrigé, les méthodes et les commentaires sont rédigés par MatuMath.

À propos de l'épreuve de maturité 2006 (niveau renforcé)

Cette épreuve de mathématiques de l'examen suisse de maturité 2006, niveau renforcé, comporte 5 problèmes (17 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème utilisé à la maturité : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4, tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Ce que cette épreuve teste

Problème	Thème	Points	Questions
Problème 1	Analyse	15	3
Problème 2	Géométrie	15	4
Problème 3 (à choix)	Nombres complexes	10	3
Problème 4 (à choix)	Optimisation	10	2
Problème 5 (à choix)	Probabilités	10	5

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Nombres complexes Optimisation Probabilités

S'entraîner en QCM sur ces chapitres :

Quiz Analyse Quiz Nombres complexes Quiz Optimisation Quiz Probabilités

Le corrigé détaillé de cette épreuve 2006 est disponible dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Le corrigé complet en ligne est publié pour l'épreuve 2025. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

Problème 1 — Analyse

15 pts

a)
Montrer que l’ensemble des points d’inflexion des graphes des fonctions $f_k$ et $g_k$
définies par
$f_k(x)=x e^{kx},\qquad g_k(x)=x e^{-kx}\,;\quad x\in\mathbb{R}\,,\ k\in\mathbb{N}^{\ast}$
se situent sur la droite $d$ d’équation $y=\dfrac{1}{e^{2}}x$ .
6 pts
b)
Montrer que l’ensemble de tous les points extremum des graphes des fonctions
$f_k(x)$ et $g_k(x)$ sont aussi sur une droite dont on demande l’équation.
5 pts
c)
Déterminer les équations des tangentes aux graphes de $f_1$ et de $g_1$ en leurs points
d’inflexion.
4 pts

Problème 2 — Géométrie

15 pts

On considère une sphère $\Gamma$ de centre
$M(0; 0; 3)$ et de rayon $r=3$ ainsi que le
point $S(0; 0; 8)$ .

On définit un cône droit $C$ de sommet $S$
dont $\Gamma$ est la sphère inscrite et tangente au
cône $C$ . Le cône $C$ a la hauteur $h=8$ .

Figure : examen de maturité 2006 (niveau renforcé), problème 2

a)
Calculer le rayon $R$ du cercle de base du cône $C$ .
4 pts
b)
Calculer le volume $V$ du cône $C$ .
2 pts
c)
Déterminer l’équation du plan $\alpha$ qui contient le cercle de contact $\Gamma\cap C$ .
4 pts
d)
Le plan $\alpha$ découpe la sphère en une grande et petite calotte. Calculer le volume du
corps contenu entre le cône $C$ et la plus petite des deux calottes.
5 pts

Problème 3 — Nombres complexes

10 pts

Soit, dans $\mathbb{C}$ , l’équation :

\begin{equation} P_3(z)=2z^{3}-(1+2i)z^{2}+(-1+25i)z+13i=0 \tag{1} \end{equation}

a)
Vérifier que le nombre $z=-\dfrac{1}{2}$ est une solution de l’équation (1) donnée.
2 pts
b)
Montrer que le polynôme d’équation (1) peut s’écrire sous la forme
$\begin{equation} P_3(z)=\left(z+\dfrac{1}{2}\right)\left(pz^{2}+qz+r\right), \tag{2} \end{equation}$
où $p$ , $q$ et $r$ sont trois nombres complexes à déterminer.
3 pts
c)
Résoudre l’équation $P_3(z)=0$ en utilisant (2) et les résultats obtenus sous 3.2.
5 pts

Problème 4 — Optimisation

10 pts

Le centre $M$ d’un cercle $\gamma$ de rayon 6 appartient à la parabole $\Gamma$ d’équation
$y=1-2x^{2}$ .

Soit $P$ et $Q$ les points d’intersection du cercle $\gamma$ et de l’axe $Oy$ .

a)
Représenter soigneusement la parabole et le triangle $MPQ$ en choisissant un point
$M$ d’abscisse supérieure à 1.
4 pts
b)
Déterminer le point $M$ de telle sorte que l’aire du triangle $MPQ$ soit maximale.
6 pts

Problème 5 — Probabilités

10 pts

Un fabricant de biscuits a trouvé une astuce publicitaire pour améliorer la vente de ses
produits. Dans le tiers des paquets mis en vente, il insère un bon permettant de recevoir
des plaquettes de chocolat gratuites : 70% de ces bons permettent de gagner une unique
plaquette de chocolat, alors que les 30% qui restent donnent droit à deux plaquettes de
chocolat.

a)
Calculer la probabilité qu’un client qui achète un paquet de biscuits gagne une
plaquette de chocolat.
2 pts
b)
Jean-François a acheté un paquet de biscuits dans lequel il a trouvé un bon. Quel
est la probabilité que ce bon lui donne droit à une plaquette de chocolat ?
1 pts
c)
Michel achète deux paquets de biscuits. Quelle est la probabilité qu’il obtienne
ainsi deux plaquettes de chocolat gratuites, si, dans le premier paquet, il n’y avait
pas de bon donnant droit à une plaquette gratuite ?

Une association de consommateurs veut vérifier que la publicité est bien conforme à la
réalité, et, pour ce faire, va acheter des lots de dix paquets de ces biscuits dans plusieurs
magasins. Nous noterons $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ces dix paquets qui
ne donnent pas droit à du chocolat.
3 pts
d)
Calculer $\bar{X}$ , la moyenne de $X$ et $\sigma_{X}^{2}$ la variance de $X$ .
2 pts
e)
Calculer la probabilité pour que $X=5$ , c’est à dire que la moitié exactement des
paquets ne donnent pas droit à un chocolat parmi 10 paquets achetés.
2 pts

Le même millésime existe en niveau standard : examen de maturité 2006 niveau standard.