Sphère

$\Sigma$ de centre $C(\alpha;\beta;\gamma)$ et de rayon $r\ge 0$ :

(après développement) :

• si $r>0$ : vraie sphère;
• si $r=0$ : sphère réduite au point $C$.

• plan tangent : à une sphère : plan qui la touche en un seul point;
• intersection sphère--plan : vide, un point (tangence), ou un cercle dans un plan.

un cercle dans l'espace n'est pas décrit par une seule équation cartésienne; on le définit par un plan + un centre + un rayon (ou par un système).

(avec coefficient $1$ devant $x^2,y^2,z^2$) :

(si $T\in\Sigma$) :

• Vecteur normal : $\vect{CT}$.
• Equation (produit scalaire) :

• Si $\Sigma:(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2$ et $T(s,t,u)\in\Sigma$ :

(si $\pi$ coupe $\Sigma$) :

• Soit $d=d(C,\pi)$. Alors

• Si $d<r$ : le centre du cercle est le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $\pi$ et son rayon vaut

$\pi:Ax+By+Cz+D=0$ :

$\Sigma_1(C_1,r_1)$ et $\Sigma_2(C_2,r_2)$ :

• Soit $\delta=\norm{\vect{C_1C_2}}$. Alors

• Plan radical : en soustrayant les deux équations développées, on obtient un plan qui contient le cercle d'intersection (s'il existe).

• Écrire directement : $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2$.
• Développer si une forme $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ est demandée.

• Regrouper : $(x^2+ax)+(y^2+by)+(z^2+cz)=-d$.
• Compléter les carrés :

• Lire $C\left(-\frac a2,-\frac b2,-\frac c2\right)$ et calculer $r^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}-d$.

• Centre : milieu $C=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
• Rayon : $r=\dfrac{AB}{2}$ avec

• Écrire l'équation centre--rayon.

• Calculer $d=d(C,\pi)$ avec la formule de distance point--plan.
• Comparer : $d>r$ (pas de contact), $d=r$ (tangent), $d<r$ (coupant).

• Vérifier que $T\in\Sigma$ (en remplaçant dans l'équation).
• Calculer le vecteur normal $\vect{n}=\vect{CT}$.
• Écrire : $\vect{n}\cdot (x-x_T,\,y-y_T,\,z-z_T)=0$.

• Calculer $d=d(C,\pi)$. Si $d\ge r$, conclure (vide ou point).
• Si $d<r$ : calculer le projeté $H$ de $C$ sur $\pi$.
• Rayon du cercle : $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$.
• Décrire le cercle par système :

• Paramétrer la droite : $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(u,v,w)$.
• Remplacer dans l'équation de la sphère $\Rightarrow$ une équation du 2ème degré en $\lambda$.
• Discriminant $\Delta$ : $\Delta<0$ (aucun point), $\Delta=0$ (tangence), $\Delta>0$ (2 points).

• Partir de $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$.
• Remplacer $(x,y,z)$ par chaque point donné $\Rightarrow$ système linéaire en $(a,b,c,d)$.
• Unicité : il faut en général 4 points non coplanaires pour déterminer une sphère unique.

la sphère est l'ensemble des points à distance constante $r$ du centre $C$.

les termes $ax,by,cz$ décalent le centre; $d$ influence le rayon.

toute intersection avec un plan coupant donne un cercle. Le rayon de la coupe diminue quand le plan s'éloigne du centre.

un plan est tangent si et seulement si la distance du centre au plan vaut $r$. Le rayon $\vect{CT}$ est perpendiculaire au plan tangent.

la soustraction des équations élimine $x^2+y^2+z^2$ et donne un plan radical. Si les sphères se coupent, leur cercle d'intersection est contenu dans ce plan.

Déterminer le centre et le rayon de :

Regrouper et compléter les carrés :

Remplacer :

Conclusion :

Soient $A(-1;0;5)$ et $B(7;4;-7)$. Trouver l'équation de la sphère de diamètre $AB$.

Centre $C$ = milieu de $AB$ :

Longueur $AB$ :

Rayon : $r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{224}}{2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$, donc $r^2=56$.

Équation :

Déterminer l'équation de la sphère de centre $C(1;0;0)$ tangent au plan $\pi:4y+3z-25=0$.

Le rayon vaut la distance du centre au plan :

Équation centre--rayon :

Soit $\Sigma:(x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=100$ et $\pi:2x-2y-z+9=0$.

Centre de la sphère : $C(3;-2;1)$, rayon $r=10$.

Distance du centre au plan :

Rayon du cercle d'intersection :

Centre $H$ du cercle = projeté orthogonal de $C$ sur $\pi$.
Avec $A=2,B=-2,C'=-1,D=9$, on calcule

l'équation standard utilise $r^2$ (pas $r$).

si l'équation est

• les coefficients de $x^2,y^2,z^2$ ne sont pas égaux (après simplification),
• il y a des termes croisés ($xy$, $xz$, $yz$)

si $r^2<0$, l'ensemble des solutions réelles est vide.

l'équation représente un point (le centre).

ne pas chercher une « équation cartésienne du cercle » unique; il faut au moins le plan + la sphère (ou une paramétrisation).

il faut vérifier $T\in\Sigma$; sinon, le plan calculé n'a pas de sens.

après substitution, bien traiter le second degré (discriminant) et ne pas perdre de solutions.

bien distinguer tangence externe ($\delta=r_1+r_2$) et interne ($\delta=\abs{r_1-r_2}$).

Je sais passer de la définition $\norm{\vect{CM}}=r$ à l'équation $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2$.

Je sais développer et reconnaître $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$.

Je sais retrouver $C\left(-\frac a2,-\frac b2,-\frac c2\right)$ et $r$ par complétage du carré.

Je sais écrire la sphère de diamètre $AB$ (milieu + demi-distance).

Je sais calculer $d(C,\pi)$ et décider : coupant / tangent / disjoint.

Je sais trouver le plan tangent en $T$ avec le vecteur normal $\vect{CT}$.

Je sais décrire $\Sigma\cap\pi$ par $(\pi,H,\rho)$ avec $H$ projeté de $C$ sur $\pi$ et $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$.

Je sais résoudre $\Sigma\cap d$ en substituant une paramétrisation de droite (second degré, $\Delta$).

Je sais obtenir le plan radical de deux sphères en soustrayant leurs équations.

Je vérifie toujours les cas limites ($r^2<0$, $r=0$) et les erreurs de signes.