Équation cartésienne d'une droite dans l'espace

(dans un repère) : ensemble des points $M(x,y,z)$ alignés avec un point $A(a_1,a_2,a_3)$ et un vecteur directeur $\vec v=(v_1,v_2,v_3)\neq \vec 0$.

de la droite $d$ :

de $d$ (si $v_1,v_2,v_3\neq 0$) :

• si $v_1=0$, alors $x=a_1$ (constant) et on garde les rapports sur les composantes non nulles ;
• si $v_2=0$, alors $y=a_2$ ; si $v_3=0$, alors $z=a_3$.

une droite dans $\R^3$ peut aussi se décrire comme intersection de deux plans non parallèles :

une même droite admet une infinité d'écritures cartésiennes (on peut multiplier, permuter, ou réécrire).

(point + direction) :

(si $v_1v_2v_3\neq 0$) :

en posant

• un vecteur normal de $P_1$ : $\vec n_1=(\alpha,\beta,\gamma)$, de $P_2$ : $\vec n_2=(\alpha',\beta',\gamma')$ ;
• vecteur directeur de la droite : $d=P_1\cap P_2$ :

$d_1,d_2$ : $\vec v_1$ et $\vec v_2$ colinéaires

$M(x,y,z)$ à $d$ :

• en paramétrique : il existe $k$ tel que $x=a_1+kv_1$, $y=a_2+kv_2$, $z=a_3+kv_3$ ;
• en symétrique : les rapports (quand définis) sont égaux, ou bien les coordonnées constantes sont respectées.

• Identifier un point $A(a_1,a_2,a_3)$ et un vecteur directeur $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$.
• Si $v_1,v_2,v_3\neq 0$, écrire

• Si une composante vaut $0$, remplacer le rapport correspondant par la coordonnée constante (ex. $v_1=0\Rightarrow x=a_1$) et garder l'égalité des deux autres rapports.
• Simplifier les signes (ex. diviser numérateur et dénominateur par $-1$ si utile).

• Poser l'égalité commune à un paramètre : $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}=t$.
• En déduire directement $x=a_1+t v_1$, $y=a_2+t v_2$, $z=a_3+t v_3$.
• Si une coordonnée est constante (ex. $x=a_1$), la garder telle quelle dans le système paramétrique.

$\;d=P_1\cap P_2$ :

• Résoudre le système des deux équations de plans (choisir une variable libre $t$).
• Exprimer les deux autres variables en fonction de $t$.
• Lire un point (valeur de $t$ simple) et un vecteur directeur (coefficients de $t$).

$d_1,d_2$ (dans $\R^3$) :

Mettre les deux droites en paramétrique : $A_1+\lambda \vec v_1$, $A_2+\mu \vec v_2$.

Tester le parallélisme : $\vec v_1$ et $\vec v_2$ colinéaires ?

Oui $\Rightarrow$ soit parallèles distinctes, soit confondues (vérifier si $A_2\in d_1$).

Non $\Rightarrow$ résoudre $A_1+\lambda \vec v_1 = A_2+\mu \vec v_2$ :

• solution $\Rightarrow$ sécantes (point d'intersection) ;
• pas de solution $\Rightarrow$ gauches (non coplanaires).

mesure le “multiple” du vecteur directeur : $\vect{AM}=t\,\vec v$.

chaque équation linéaire en $(x,y,z)$ décrit un plan ; deux plans non parallèles se coupent selon une droite.

• point sur la droite : prendre $t=0$ donne $A$ ;
• direction : $t\mapsto t+1$ ajoute $\vec v$.

Graphe (exemple de droite dans l'espace) :

Soit la droite

Un point : $A(1,-3,3)$.

Un vecteur directeur : $\vec v=(1,1,-3)$ (toutes composantes non nulles).

Donc les équations cartésiennes (symétriques) sont

Soit

Soit le système

Choisissons $y=t$ comme paramètre libre.

De $x-2y=-13$ : $x=2t-13$.

De $x+z=2$ : $z=2-x=2-(2t-13)=15-2t$.

Donc une représentation paramétrique est

Droite passant par $A(4,-1,2)$, de vecteur directeur $\vec v=(0,3,-6)$.

Paramétrique :

Cartésienne : comme $v_1=0$, la coordonnée $x$ est constante.

$v_1v_2v_3\neq 0$ avant d'écrire
$\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}=\dfrac{z-a_3}{v_3}$.

si $v_1=0$, on ne met jamais $\dfrac{x-a_1}{0}$ ; on écrit $x=a_1$.

dans $\dfrac{x-a_1}{v_1}$, le $a_1$ vient d'un point sur la droite. Changer $A$ change l'écriture mais pas la droite.

$\dfrac{z-3}{-3}$ peut se réécrire $\dfrac{3-z}{3}$. Les deux sont corrects, mais attention à rester cohérent.

multiplier tous les dénominateurs par un même non-zéro donne la même droite (vecteur directeur proportionnel).

• si les plans sont parallèles distincts $\Rightarrow$ pas d'intersection (aucune droite) ;
• si les plans sont confondus $\Rightarrow$ intersection = le plan (infinité de droites), donc il manque une équation indépendante.

“pas parallèles” ne suffit pas pour conclure “sécantes” \ $\Rightarrow$ elles peuvent être gauches.

selon l'écriture, le paramètre peut changer ($t=2k-1$) \ $\Rightarrow$ ne pas se laisser piéger : c'est la même droite.

Je sais passer de $(x,y,z)=A+k\vec v$ à la forme symétrique (et traiter les zéros).

Je sais passer de la forme symétrique à un système paramétrique en posant $=t$.

Je sais lire un point et un vecteur directeur dans une écriture paramétrique/symétrique.

Je sais déterminer une paramétrique en résolvant l'intersection de deux plans (une variable libre).

Je sais tester le parallélisme de deux droites (vecteurs directeurs colinéaires).

Je sais décider si deux droites sont confondues (point de l'une sur l'autre + parallélisme).

Je sais chercher un point d'intersection en résolvant $A_1+\lambda\vec v_1=A_2+\mu\vec v_2$.

Je n'écris jamais de fraction avec dénominateur $0$ ; je remplace par une coordonnée constante.