Coniques (parabole, ellipse, hyperbole)

courbe plane obtenue par intersection d'un cône de révolution avec un plan. Selon l'inclinaison du plan, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

ensemble des points $M$ du plan tels que $MF_1 + MF_2 = 2a$, où $F_1, F_2$ sont deux points fixes appelés foyers et $2a$ est une constante ($2a > F_1F_2$).

ensemble des points $M$ équidistants d'un point fixe $F$ (foyer) et d'une droite fixe $\mathcal{D}$ (directrice). Soit $MF = d(M, \mathcal{D})$.

ensemble des points $M$ tels que $|MF_1 - MF_2| = 2a$, où $F_1, F_2$ sont les foyers et $2a < F_1F_2$.

rapport caractérisant la forme : $e = 0$ cercle, $0 < e < 1$ ellipse, $e = 1$ parabole, $e > 1$ hyperbole.

l'axe focal passe par les foyers ; les sommets sont les intersections de la courbe avec cet axe.

si le centre est $(x_0, y_0)$ au lieu de l'origine, remplacer $x$ par $x - x_0$ et $y$ par $y - y_0$ dans les équations.

• Mettre sous forme canonique par complétion du carré.
• Si $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ : ellipse (cercle si $a = b$).
• Si $\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} - \dfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ : hyperbole.
• Si un seul terme au carré : parabole.

• Identifier $a$ (le plus grand) et $b$.
• Calculer $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
• Foyers sur l'axe focal à distance $c$ du centre.
• Excentricité $e = c/a$.

• Mettre sous forme $y^2 = 2px$ ou $x^2 = 2py$ (ou translation).
• Foyer à distance $p/2$ du sommet sur l'axe.
• Directrice perpendiculaire à l'axe, à distance $p/2$ du côté opposé.

• Mettre sous forme réduite.
• Asymptotes : $y - y_0 = \pm \dfrac{b}{a} (x - x_0)$.
• Elles passent par le centre.

• Placer le repère pour avoir les foyers sur un axe, centre à l'origine.
• Calculer $c = F_1F_2 / 2$.
• Ellipse : $b^2 = a^2 - c^2$. Hyperbole : $b^2 = c^2 - a^2$.
• Écrire l'équation réduite.

Soit $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Alors $a = 5$, $b = 3$, $c = \sqrt{25 - 9} = 4$.

Foyers : $F_1(-4, 0)$, $F_2(4, 0)$. Sommets : $(\pm 5, 0)$, $(0, \pm 3)$. Excentricité : $e = 4/5 = 0{,}8$.

Soit $y^2 = 8x$. Alors $2p = 8$, $p = 4$.

Foyer : $F(2, 0)$. Directrice : $x = -2$. Axe de symétrie : $Ox$.

Soit $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Alors $a = 4$, $b = 3$, $c = \sqrt{16 + 9} = 5$.

Foyers : $(\pm 5, 0)$. Sommets : $(\pm 4, 0)$. Asymptotes : $y = \pm \dfrac{3}{4} x$.

Identifier $x^2 + 4y^2 - 2x - 16y + 13 = 0$.

$(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 4y) + 13 = 0$
$(x-1)^2 - 1 + 4((y-2)^2 - 4) + 13 = 0$
$(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 4$
$\dfrac{(x-1)^2}{4} + (y-2)^2 = 1$.

Ellipse de centre $(1, 2)$, $a = 2$, $b = 1$.

par convention $a \geq b$ et $a$ est le demi-grand axe. L'axe focal est celui associé à $a$.

ellipse : $c^2 = a^2 - b^2$. Hyperbole : $c^2 = a^2 + b^2$. Ne pas confondre.

le foyer est du même côté que la concavité, à distance $p/2$ du sommet.

toujours compléter le carré avant d'extraire $a, b, c$. Une équation peut être celle d'une ellipse translatée.

les asymptotes passent toujours par le centre, leurs pentes sont $\pm b/a$.

$x^2 + y^2 = 0$ (un point), $x^2 - y^2 = 0$ (deux droites) sont des coniques dégénérées.

Je connais les définitions d'ellipse, parabole, hyperbole par distance aux foyers.

Je connais les équations réduites des trois coniques.

Je sais calculer $c$ en fonction de $a, b$ selon le type de conique.

Je sais identifier une conique à partir d'une équation générale (complétion du carré).

Je sais trouver foyers, directrice, sommets, asymptotes.

Je connais l'excentricité et la classification associée.