Produit scalaire, projections et distances

espace $\R^3$ muni d'un repère orthonormé $(O;\vect{i},\vect{j},\vect{k})$.

pour $\vect{u}=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vect{v}=(v_1,v_2,v_3)$ : $\vect{u}\cdot\vect{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

$\norm{\vect{u}} = \sqrt{\vect{u}\cdot\vect{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$.

si $\vect{u}, \vect{v} \neq \vect{0}$ : $\vect{u}\cdot\vect{v} = \norm{\vect{u}}\norm{\vect{v}}\cos\theta$. Orthogonalité : $\vect{u}\perp\vect{v} \Leftrightarrow \vect{u}\cdot\vect{v}=0$.

$\mathrm{proj}_{\vect{v}}(\vect{u}) = \dfrac{\vect{u}\cdot\vect{v}}{\norm{\vect{v}}^2}\vect{v}$. C'est la composante de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{v}$.

pour $d$ passant par $A$ de direction $\vec{d}$, la projection de $P$ est $Q \in d$ tel que $\vect{PQ}\perp\vec{d}$.

pour $\pi$ de normale $\vec{n}$, la projection de $P$ est $Q \in \pi$ tel que $\vect{PQ}\parallel\vec{n}$.

longueur $PQ$ où $Q$ est la projection orthogonale. La distance est toujours positive.

si $Q$ est la projection de $P$, alors $P' = 2Q - P$.

longueur de la perpendiculaire commune. Si les droites sont parallèles : distance d'un point à l'autre droite.

$AB = \norm{\vect{AB}} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

plan de normale $\vec{n}=(a,b,c)$ passant par $A$ : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$, ou $ax+by+cz+d=0$. Inversement, $(a,b,c)$ est un vecteur normal de $ax+by+cz+d=0$.

$\pi: ax+by+cz+d=0$, $P(x_0, y_0, z_0)$ :

$\pi: ax+by+cz+d=0$, $\vec{n}=(a,b,c)$ :

$P' = 2Q - P$ où $Q$ est la projection de $P$.

$d_1: A_1 + t\vec{u}$, $d_2: A_2 + s\vec{v}$ avec $\vec{u}\times\vec{v} \neq \vec{0}$ :

droites $d_1, d_2$ : $\parallel \Leftrightarrow \vec{u}_1, \vec{u}_2$ colinéaires ; $\perp \Leftrightarrow \vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=0$. Idem pour plans avec leurs normales.

• Orthogonalité : vérifier $\vect{u}\cdot\vect{v} = 0$.
• Angle : $\cos\theta = \dfrac{\vect{u}\cdot\vect{v}}{\norm{\vect{u}}\norm{\vect{v}}}$.
• Entre plans : utiliser les normales.
• Entre droite et plan : utiliser $\sin$ (formule spécifique).

• Écrire $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$ avec $\vec{n}=(a,b,c)$.
• Développer si besoin.
• Vérifier en substituant $A$.

• Paramétrer $d: M(t) = A + t\vec{d}$.
• Calculer $t_0 = \dfrac{\vect{AP}\cdot\vec{d}}{\norm{\vec{d}}^2}$.
• $Q = M(t_0)$.
• Distance : $\delta(P,d) = \norm{\vect{PQ}}$, ou directement formule produit vectoriel.

• Écrire $\pi: ax+by+cz+d=0$.
• Calculer $s = ax_0+by_0+cz_0+d$.
• $Q = P - \dfrac{s}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)$.
• Vérifier que $Q \in \pi$.

• Calculer la projection $Q$.
• $P' = 2Q - P$.

• Calculer $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$.
• Si $\vec{n} \neq \vec{0}$ : $\delta = \dfrac{|\vect{A_1A_2}\cdot\vec{n}|}{\norm{\vec{n}}}$.
• Sinon (parallèles) : utiliser la formule adaptée.

• Un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal du plan.
• Paramétrer : $P + t\vec{n}$.

$\vect{u}\cdot\vect{v}$ mesure l'alignement. $> 0$ : aigu ; $= 0$ : droit ; $< 0$ : obtus.

$\vect{AP} = \vect{AQ} + \vect{QP}$, où $\vect{AQ}\parallel\vec{d}$ et $\vect{QP}\perp\vec{d}$.

$\norm{\vect{AP}\times\vec{d}}$ est l'aire du parallélogramme, divisée par $\norm{\vec{d}}$ donne la hauteur.

indique de quel côté du plan se trouve le point.

$|\vect{A_1A_2}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|$ est le volume du parallélépipède. Divisé par $\norm{\vec{u}\times\vec{v}}$ donne la distance.

$P(-1,7,-8)$, $\pi: x-10y-3z+17=0$.

$s = -1 - 70 + 24 + 17 = -30$. $\delta = \dfrac{30}{\sqrt{1+100+9}} = \dfrac{30}{\sqrt{110}}$.

$P(3,1,-1)$, $\pi: x+2y+3z-30=0$.

$s = 3+2-3-30 = -28$, $a^2+b^2+c^2 = 14$.

$Q = P + 2(1,2,3) = (5,5,5)$. Vérif. $5+10+15-30 = 0$ ✓.

Symétrique : $P' = 2Q - P = (7,9,11)$.

$d: A(1,2,3) + t(2,-1,2)$, $P(3,0,5)$.

$\vect{AP} = (2,-2,2)$, $\vect{AP}\cdot\vec{d} = 10$, $\norm{\vec{d}}^2 = 9$.

$Q = (1,2,3) + \tfrac{10}{9}(2,-1,2) = (\tfrac{29}{9},\tfrac{8}{9},\tfrac{47}{9})$.

$\delta(P,d) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

$d_1: A_1(1,0,0) + t(1,1,0)$, $d_2: A_2(0,1,1) + s(0,1,1)$.

$\vec{u}\times\vec{v} = (1,-1,1)$, $\norm{\cdot} = \sqrt{3}$, $\vect{A_1A_2} = (-1,1,1)$, produit mixte = $-1$.

$\delta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

$\alpha: 3x+12y-4z=0$, $\beta: 3x+12y-4z+73=0$.

$\norm{\vec{n}} = \sqrt{9+144+16} = 13$. $\delta = 73/13$.

une distance est toujours $\geq 0$. Ne pas oublier $|\cdot|$.

la direction d'une droite perpendiculaire à un plan est un vecteur normal (pas un vecteur contenu dans le plan).

projection sur $\vec{d}$ : $\norm{\vec{d}} \neq 0$. Distance entre droites gauches : si $\vec{u}\times\vec{v} = \vec{0}$, les droites sont parallèles (formule différente).

les formules coordonnées du produit scalaire ne valent pas telles quelles.

la normale est $(a,b,c)$ telle quelle, pas son opposé. Attention lors du développement.

distance = 0. Vérifier avant d'appliquer la formule des droites gauches.

toujours passer par la projection $Q$ puis $P' = 2Q - P$.

Je sais calculer un produit scalaire, une norme, un angle.

Je sais tester orthogonalité et parallélisme (vecteurs, droites, plans).

Je sais écrire l'équation d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal.

Je sais projeter un point sur une droite et sur un plan.

Je connais les formules de distance point/droite et point/plan.

Je sais trouver un symétrique par rapport à une droite ou un plan.

Je sais calculer la distance entre deux droites gauches (produit mixte).

Je sais calculer l'angle entre deux plans ou entre une droite et un plan.