Plan médiateur et bissecteur

ensemble des points $M$ tels que $MC = MD$.

c'est le plan orthogonal à la droite $(CD)$ et passant par le milieu $I$ du segment $[CD]$.

un vecteur normal au plan médiateur est $\vec n = \overrightarrow{CD}$ (ou tout multiple non nul).

dans le plan, l'analogue est la médiatrice d'un segment (une droite).

milieu $I$, orthogonal, vecteur normal, lieu géométrique.

de $C(x_C,y_C,z_C)$ et $D(x_D,y_D,z_D)$ :

de $(CD)$ (et donc normal au plan médiateur) :

du plan médiateur $\Pi$ :

si $\Pi:ax+by+cz+d=0$,

• Calculer le milieu $I$ de $[CD]$.
• Calculer un vecteur normal $\vec n=\overrightarrow{CD}$.
• Écrire l'équation : $\vec n\cdot \overrightarrow{IX}=0$ et développer.
• (Contrôle) Vérifier que $I$ satisfait l'équation et que $\vec n$ est bien normal.

• Construire le plan médiateur $\Pi$ du segment $[BC]$.
• Écrire une représentation paramétrique de $(d)$ : $A(t)=P_0+t\vec u$.
• Substituer $A(t)$ dans l'équation de $\Pi$ pour trouver $t$.
• Conclure : $A=A(t)$ est le point cherché (si une solution existe).

• Traduire « équidistant de $C$ et $D$ » par « $M\in\Pi_{CD}$ » (plan médiateur).
• Traduire la contrainte supplémentaire par une droite ou un plan (ex.: « projection orthogonale sur un plan » $\Rightarrow$ une droite normale à ce plan).
• Résoudre l'intersection (droite--plan ou plan--plan).

• Les points équidistants de $A$ et $B$ sont sur $\Pi_{AB}$, et ceux équidistants de $A$ et $C$ sur $\Pi_{AC}$.
• L'intersection $\Pi_{AB}\cap \Pi_{AC}$ est en général une droite : tout point de cette droite est équidistant de $A,B,C$.
• Ajouter une contrainte (appartenance à un plan, à une sphère, etc.) pour isoler un point si nécessaire.

le plan médiateur coupe le segment $[CD]$ en son milieu $I$ et est perpendiculaire à $(CD)$.

$\vec n\cdot \overrightarrow{IX}=0$ : le vecteur $\overrightarrow{IX}$ est orthogonal à $\vec n=\overrightarrow{CD}$, donc $X$ est dans un plan orthogonal à $(CD)$ passant par $I$.

$MC=MD$ se transforme en une équation du premier degré (les termes $x^2,y^2,z^2$ s'annulent).

(segment sur l'axe $x$) : pour $C(-1,0,0)$ et $D(1,0,0)$, le plan médiateur est $x=0$.

Schéma : le plan médiateur ($x=0$) du segment $[-1,1]$ sur l'axe $x$.

Étape 1 : milieu

Étape 2 : vecteur normal

Étape 3 : équation du plan

Étape 1 : plan médiateur de $[BC]$

Milieu :

Équation :

Étape 2 : intersection avec la droite $(d)$

Sur $(d)$ :

Idée :

• « $MC=MD$ » $\Rightarrow$ $M$ appartient au plan médiateur $\Pi_{CD}$.
• « proj$_{(ABC)}(M)=G$ » (avec $G$ centre de gravité) $\Rightarrow$ $M$ est sur la droite passant par $G$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$. Étape 1 : centre de gravité $G$ de $ABC$

Étape 2 : une normale au plan $(ABC)$

Étape 3 : plan médiateur $\Pi_{CD}$

Milieu de $[CD]$ :

Équation :

Étape 4 : intersection $\ell\cap \Pi_{CD}$

Substitution :

Coordonnées de $M$ :

le plan médiateur passe toujours par le milieu du segment.

la normale est parallèle à $\overrightarrow{CD}$, pas à un vecteur du plan.

utiliser $MC^2=MD^2$ (pas besoin de racines) et bien développer : les $x^2,y^2,z^2$ doivent s'annuler.

une équation de plan est définie à un facteur non nul près (si vous trouvez l'opposé, c'est correct).

si $C=D$, alors tout point est équidistant (pas de plan médiateur unique).

• si la droite est parallèle au plan et n'y appartient pas $\Rightarrow$ aucune solution ;
• si la droite est contenue dans le plan $\Rightarrow$ infinité de solutions.

toujours annoncer clairement « $AB=AC \Rightarrow A\in \Pi_{BC}$ »

Je sais définir le plan médiateur : $\{M\mid MC=MD\}$.

Je sais calculer un milieu $I$ dans $\mathbb{R}^3$.

Je sais trouver une normale $\vec n=\overrightarrow{CD}$.

Je sais écrire $\vec n\cdot \overrightarrow{IX}=0$ et développer.

Je sais utiliser $MC^2=MD^2$ pour obtenir une équation linéaire.

Je sais résoudre une intersection droite--plan (substitution).

Je sais expliquer pourquoi un sommet d'un isocèle appartient à un plan médiateur.

Je vérifie mes résultats (milieu sur le plan, cohérence de la normale).