Équation du plan

on travaille dans un repère cartésien $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, un point $M$ s’écrit $M(x;y;z)$.

ensemble de points vérifiant une relation linéaire entre $x,y,z$.

• trois points non alignés $A,B,C$ ;
• un point $A$ du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u},\vec{v}$ ;
• un point $A$ du plan et un vecteur normal $\vec{n}\neq \vec 0$ (orthogonal au plan).

si $A(a_1;a_2;a_3)\in \pi$ et $\vec{u},\vec{v}$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires,

un plan s’écrit

si $\pi:ax+by+cz+d=0$, alors $\vec{n}=(a,b,c)$ est normal au plan (donc orthogonal à tout vecteur directeur du plan).

$M\in\pi(A;\vec{u},\vec{v})$ équivaut à dire que les vecteurs $\vect{AM},\vec{u},\vec{v}$ sont coplanaires, donc

Si $A(a_1;a_2;a_3)$, $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ non colinéaires :

$\pi: ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$.

• Un point $M(x_0;y_0;z_0)$ appartient à $\pi \iff a x_0+b y_0+c z_0+d=0$.
• $\vec{n}=(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan.
• Les coefficients $(a,b,c,d)$ sont définis à un facteur non nul près : multiplier l’équation par $\lambda\neq0$ ne change pas le plan.

si $\vec{u},\vec{v}$ sont directeurs d’un plan, alors

• Deux plans $\pi_1,\pi_2$ sont parallèles $\iff \vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ sont colinéaires.
• Deux plans sont perpendiculaires $\iff \vec{n}_1\cdot \vec{n}_2=0$.
• Une droite de vecteur directeur $\vec v$ est parallèle à $\pi$ $\iff \vec v\cdot \vec{n}=0$.
• Une droite est perpendiculaire à $\pi$ si $\vec v$ est colinéaire à $\vec{n}$.

l’angle $\theta\in[0,\pi/2]$ entre $\pi_1,\pi_2$ est l’angle entre leurs normaux :

• Trace sur $Oxy$ : poser $z=0$ dans $ax+by+cz+d=0$ (on obtient une droite dans $Oxy$).
• Trace sur $Oxz$ : poser $y=0$.
• Trace sur $Oyz$ : poser $x=0$.

Pour $\pi: ax+by+cz+d=0$ et $P(x_0,y_0,z_0)$,

• Écrire $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.
• Développer pour obtenir $ax+by+cz+d=0$.
• (Option) Simplifier en divisant par un facteur commun non nul.

Calculer deux vecteurs du plan : $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.

Trouver un normal $\vec{n}$ :

• soit par produit vectoriel $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ ;
• soit en cherchant $(a,b,c)$ tel que $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$.

Écrire l’équation : $\vec{n}\cdot \vect{AM}=0$ puis développer.

Vérifier rapidement avec $B$ et $C$ (leurs coordonnées doivent satisfaire l’équation).

• Identifier $A$ et les directions $\vec{u},\vec{v}$.
• Calculer $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ (plus direct).
• Écrire $\vec{n}\cdot \vect{AM}=0$ et développer $\Rightarrow ax+by+cz+d=0$.
• (Alternative) Éliminer $k,n$ dans le système, si le produit vectoriel n’est pas souhaité.

• Partir de $ax+by+cz+d=0$ et choisir deux paramètres (par ex. $y=s$, $z=t$).
• Résoudre pour la variable restante (par ex. $x$).
• Écrire $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+s\,\vec{u}+t\,\vec{v}$ en isolant un point et deux directions.
• Contrôler que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

• Garder le même vecteur normal : si $\pi_0: ax+by+cz+d_0=0$, alors tout plan parallèle a la forme $ax+by+cz+d=0$.
• Utiliser un point imposé $P$ pour trouver $d$ : $d=-(ax_P+by_P+cz_P)$.

Écrire la droite sous forme paramétrique $x=x_0+t v_1,\;y=y_0+t v_2,\;z=z_0+t v_3$.

Remplacer dans $ax+by+cz+d=0$ pour obtenir une équation en $t$.

Conclure :

• une solution $t$ : la droite coupe le plan en un point ;
• aucune solution : droite parallèle au plan (strictement parallèle si elle n’est pas incluse) ;
• identité vraie : droite incluse dans le plan.

dans $\pi:ax+by+cz+d=0$, le vecteur $\vec{n}=(a,b,c)$ indique la direction « perpendiculaire » au plan.

pour un point $M(x,y,z)$, la valeur $S=ax+by+cz+d$ donne le signe (un côté ou l’autre). Les points du plan ont $S=0$.

• $Oxy : z=0$, $Oxz : y=0$, $Oyz : x=0$.
• Un plan $x=\text{cte}$ est parallèle à $Oyz$ ; $y=\text{cte}$ est parallèle à $Oxz$ ; $z=\text{cte}$ est parallèle à $Oxy$.

pour représenter un plan sur papier, on utilise souvent ses intersections avec $Oxy,Oxz,Oyz$ (ce sont des droites).

si $\pi_1,\pi_2$ ont des coefficients $(a,b,c)$ proportionnels, ils sont parallèles; si en plus $d$ suit la même proportion, ils sont confondus.

Graphe (exemple de plan) : représentation du plan $x+y+z=1$ dans un repère.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\alpha$ passant par $A(2;3;5)$, $B(1;0;5)$ et $C(6;5;6)$.

Vecteurs directeurs :

Un vecteur normal : $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$.

Équation : $\vec{n}\cdot \vect{AM}=0$.

Développement :

On considère le plan $\beta$ :

Point : $A(3;1;5)$ ; directions $\vec{u}=(-2,1,3)$ et $\vec{v}=(1,-4,3)$.

Normal : $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ :

Équation : $15(x-3)+9(y-1)+7(z-5)=0$.

Développement :

Trouver l’équation du plan $\gamma$ parallèle à $3x+5y-2z+5=0$ et passant par $P(2;3;-1)$.

Même normal : $\vec{n}=(3,5,-2)$, donc $\gamma:3x+5y-2z+d=0$.

On impose $P\in\gamma$ :

Donc

Droite $d:\;\begin{cases} x=2+k\\ y=5-k\\ z=1+3k \end{cases}$
et plan $\alpha: 3x-2y-z=3$. Trouver le point d’intersection (s’il existe).

Vecteur directeur de $d$ : $\vec v=(1,-1,3)$ ; normal de $\alpha$ : $\vec{n}=(3,-2,-1)$.

Test rapide : $\vec v\cdot \vec{n}=1\cdot 3+(-1)\cdot(-2)+3\cdot(-1)=3+2-3=2\neq 0$ donc $d$ n’est pas parallèle au plan : intersection unique.

Substitution dans l’équation du plan :

Point d’intersection $I$ :

si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, la « forme paramétrique » ne décrit pas un plan unique (on retombe sur une droite).

$ax+by+cz+d=0$ n’est pas une équation de plan si $(a,b,c)=(0,0,0)$.

multiplier par $\lambda\neq 0$ ne change pas le plan. (Ne pas confondre avec un autre plan !)

• parallèles si $(a,b,c)$ proportionnels ;
• confondus si tous les coefficients $(a,b,c,d)$ sont proportionnels.

attention à $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$ lorsque $A$ appartient au plan.

la trace sur $Oxy$ n’a de sens que si l’intersection n’est pas vide (certains plans sont parallèles à $Oxy$, donc pas de trace dans $Oxy$).

écrire $\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=1$ suppose que le plan coupe les axes en trois points distincts (donc $\alpha,\beta,\gamma\neq0$).

• une équation en $k$ sans solution $\Rightarrow$ droite parallèle au plan (ou strictement parallèle) ;
• identité vraie $\Rightarrow$ droite incluse dans le plan (vérifier avec un point de la droite).

ne pas échanger $\vec{u}\times\vec{v}$ et $\vec{v}\times\vec{u}$ sans prévenir : le normal change de signe (plan inchangé).

Je sais écrire un plan en forme paramétrique à partir de $A,\vec{u},\vec{v}$.

Je sais écrire un plan en forme cartésienne $ax+by+cz+d=0$ et identifier $\vec{n}=(a,b,c)$.

Je sais trouver l’équation d’un plan à partir d’un point et d’un normal.

Je sais trouver l’équation d’un plan à partir de trois points non alignés.

Je sais convertir paramétrique $\rightarrow$ cartésienne (via $\vec{u}\times\vec{v}$).

Je sais convertir cartésienne $\rightarrow$ paramétrique (choix de deux paramètres).

Je sais tester si un point appartient au plan (remplacer $x,y,z$).

Je sais décider si deux plans sont parallèles / confondus / sécants.

Je sais calculer les traces d’un plan sur $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$.

Je sais traiter une intersection droite--plan par substitution.

Je sais utiliser $\cos\theta=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\|\,\|\vec{n}_2\|}$ pour l’angle entre deux plans.

Je sais appliquer la formule de distance point--plan.