Équation paramétrique de la droite

on travaille dans l’espace muni d’un repère orthonormé (souvent noté $(O;\vecc{i},\vecc{j},\vecc{k})$).

ensemble de points ayant une direction fixe.

un vecteur non nul $\vecc{v}\neq \vecc{0}$ colinéaire à la droite.

une droite $d$ est déterminée par

• un point $A(a_1,a_2,a_3)$ appartenant à $d$,
• un vecteur directeur $\vecc{v}=(v_1,v_2,v_3)$ avec $\vecc{v}\neq \vecc{0}$.

un réel $t\in\R$ (on peut aussi écrire $k$, $\lambda$, etc.). En faisant varier $t$, on parcourt tous les points de la droite.

$M(x,y,z)\in d \iff \vect{AM}=t\,\vecc{v}$ pour un certain $t\in\R$.

Une droite dans l’espace se décrit naturellement par une équation vectorielle (point + multiple d’un vecteur directeur) et donc par un système d’équations paramétriques.

$d$ passant par $A(a_1,a_2,a_3)$ et de vecteur directeur $\vecc{v}=(v_1,v_2,v_3)\neq\vecc{0}$ :

(coordonnées de $M(x,y,z)$) :

$A$ et $B$ distincts :

• si $A$ est remplacé par un autre point de la droite, on obtient une autre écriture,
• si $\vecc{v}$ est remplacé par un vecteur colinéaire $\alpha\vecc{v}$ ($\alpha\neq 0$), on obtient la même droite,
• on peut aussi changer de paramètre (ex. $t=2u-1$).

(si $v_1,v_2,v_3\neq 0$) :

• si $v_2=0$ alors $y=a_2$ est constant sur la droite,
• plus généralement, toute composante nulle $\Rightarrow$ la coordonnée correspondante est constante.

une droite peut aussi être décrite comme l’intersection de deux plans non parallèles :

• Prendre un point $A(a_1,a_2,a_3)$ de la droite.
• Prendre un vecteur directeur non nul $\vecc{v}=(v_1,v_2,v_3)$.
• Écrire :

• Calculer $\vecc{v}=\vect{AB}=B-A$.
• Utiliser $A$ (ou $B$) comme point d’appui.
• Écrire le système paramétrique avec $\vecc{v}$.

• Récupérer un vecteur directeur $\vecc{v}$ de la droite donnée (ou un vecteur colinéaire).
• Utiliser le point imposé $A$.
• Écrire la représentation paramétrique avec le même $\vecc{v}$.

Remplacer $x,y,z$ par $x_P,y_P,z_P$ dans les équations paramétriques.

Chercher un même paramètre $t$ qui satisfait simultanément les trois équations.

Conclure :

• si le même $t$ existe $\Rightarrow P\in d$,
• sinon $\Rightarrow P\notin d$.

Écrire $d$ avec un paramètre $t$ et $e$ avec un paramètre $u$.

Égaler les coordonnées : $(x_d(t),y_d(t),z_d(t))=(x_e(u),y_e(u),z_e(u))$.

Résoudre le système (souvent 3 équations, 2 inconnues).

Conclure :

• solution unique $(t,u)$ $\Rightarrow$ droites sécantes (intersection = un point),
• aucune solution $\Rightarrow$ droites parallèles distinctes ou gauches (non coplanaires),
• infinité de solutions $\Rightarrow$ droites confondues.

• Trace sur $Oxy$ : imposer $z=0$ puis résoudre pour $t$.
• Trace sur $Oxz$ : imposer $y=0$ puis résoudre pour $t$.
• Trace sur $Oyz$ : imposer $x=0$ puis résoudre pour $t$.
• Si l’équation imposée est impossible $\Rightarrow$ pas de trace sur ce plan.
• Si la coordonnée est déjà constante au bon niveau (ex. $z=0$ pour tout $t$) $\Rightarrow$ la droite est incluse dans le plan (trace = une droite).

$M(t)=A+t\,\vecc{v}$ signifie :

• à $t=0$, on est au point $A$,
• quand $t$ augmente de $1$, on se déplace du vecteur $\vecc{v}$,
• le signe de $t$ donne le sens (positif : sens de $\vecc{v}$, négatif : sens opposé).

tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires (multiples non nuls).

• si $v_2=0$, alors $y$ est constant : la droite est parallèle à l’axe $Oxz$ et contenue dans un plan $y=\text{constante}$,
• si deux composantes sont nulles, la droite est parallèle à un axe.

met en évidence les rapports « mêmes variations » entre coordonnées.

Exemple : $A(1,0,2)$ et $\vecc{v}=(3,2,-5)$. La droite est $M(t)=(1,0,2)+t(3,2,-5)$.

Soient $A(2,0,3)$ et $B(1,4,5)$. Donner une équation paramétrique de la droite $(AB)$.

Solution

On considère la droite $d$ donnée par

Solution

En prenant $k=0$, on obtient un point $A(1,0,2)$ et un vecteur directeur $\vecc{v}=(3,2,-5)$ :

En prenant $k=1$, on obtient un point $B(4,2,-3)$ et un vecteur directeur opposé $-\vecc{v}=(-3,-2,5)$ :

Une droite $d$ est définie par $A(2,4,5)$ et $\vecc{v}=(1,-4,2)$.

Le point $P(5,-8,12)$ appartient-il à $d$ ?

Le point $Q(x,y,\lambda)$ appartient à $d$. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $\lambda$.

La représentation paramétrique de $d$ est :

Si $P\in d$, alors $2+t=5\Rightarrow t=3$. On vérifie :

Ici $z=\lambda=5+2t\Rightarrow t=\dfrac{\lambda-5}{2}$. Alors

On considère

Solution
On égalise les coordonnées :

$\vecc{v}=\vecc{0}$ ne définit pas une droite (erreur fréquente si $A=B$).

le paramètre est réel (pas seulement entier).

changer de point d’appui, multiplier $\vecc{v}$ par $\alpha\neq 0$, ou remplacer $t$ par une expression affine ne change pas la droite.

• si une composante $v_i=0$, on ne peut pas diviser par $v_i$,
• on doit alors écrire la coordonnée correspondante constante (ex. $y=a_2$).

il faut un même paramètre $t$ qui marche pour toutes les coordonnées.

• aucune solution : elles peuvent être parallèles distinctes ou gauches (c’est différent),
• infinité de solutions : elles sont confondues.

• si la droite est parallèle à un plan, il peut n’y avoir aucune trace sur ce plan,
• si la droite est contenue dans un plan, la “trace” n’est pas un point mais la droite (intersection = une droite).

Je sais identifier un point $A$ et un vecteur directeur $\vecc{v}\neq\vecc{0}$.

Je sais écrire $M(t)=A+t\,\vecc{v}$ et le système $\{x=a_1+tv_1,\ y=a_2+tv_2,\ z=a_3+tv_3\}$.

Je sais construire $\vecc{v}=\vect{AB}$ à partir de deux points $A,B$.

Je sais produire plusieurs écritures paramétriques d’une même droite.

Je sais traiter le cas où une composante $v_i=0$ (coordonnée constante).

Je sais tester si un point appartient à une droite (même paramètre pour toutes les équations).

Je sais déterminer l’intersection de deux droites (système en deux paramètres) et conclure (sécantes / parallèles / confondues / gauches).

Je sais trouver les traces sur $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$ en imposant $z=0$, $y=0$, $x=0$.