Equation du cercle dans le plan

$\Gamma$ : ensemble des points $P(x;y)$ du plan situés à distance constante $R>0$ d'un point fixe $C(\alpha;\beta)$.

$C(\alpha;\beta)$. Rayon : $R$.

Dans un repère orthonormé, la distance $CP$ vaut :

une relation entre $x$ et $y$ décrivant l'ensemble des points du cercle.

• forme centre--rayon : lecture directe du centre et du rayon ;
• forme développée : pratique pour résoudre des systèmes / intersections.

(a connaitre) : rayon nul ($R=0$) $\Rightarrow$ un point ; pas de cercle reel si le rayon au carre obtenu est negatif.

(cercle de centre $C(\alpha;\beta)$ et de rayon $R$) :

(forme la plus rencontrée) :

(compléter les carrés) :

(utile pour la tangence) :

le cercle de centre $C$ et de rayon $R$ est tangent à $d$ si

• Identifier $C(\alpha;\beta)$ et $R$.
• Écrire directement : $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2$.
• (Option) Développer si on veut la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$.

• Mettre l'équation sous la forme : $x^2+y^2+ax+by+c=0$ (si besoin, réordonner).
• Regrouper en $x$ puis en $y$ :

• Compléter les carrés :

• Mettre au format centre--rayon et lire $C$ et $R$. Vérifier $R^2\ge 0$.

• Après simplification : les coefficients de $x^2$ et $y^2$ doivent être égaux (éventuellement après division par une constante non nulle).
• Il ne doit pas y avoir de terme $xy$.
• Après complétion des carrés : vérifier que $R^2\ge 0$.

• Calculer le centre : milieu $C\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Calculer le rayon : $R=\dfrac{AB}{2}$ avec $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
• Écrire $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2$.

• Poser : $x^2+y^2+ax+by+c=0$ (inconnues $a,b,c$).
• Remplacer $(x,y)$ successivement par les coordonnées de $A,B,D$.
• Résoudre le système (3 équations, 3 inconnues), puis retrouver $C$ et $R$ si demandé.

• Calculer $R=\dist(C,d)$ avec la formule point--droite.
• Écrire l'équation centre--rayon du cercle.

de $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2$ :

• $(x-\alpha)$ et $(y-\beta)$ mesurent le déplacement horizontal / vertical depuis le centre.
• La somme des carrés vaut $R^2$ : tous les points sont à distance $R$ du centre.

• Si l'équation est déjà sous forme centre--rayon : on lit $C$ et $R$ immédiatement.
• Si l'équation est développée : on complète les carrés pour retrouver le centre et le rayon.

• Modifier $\alpha,\beta$ : translation du cercle.
• Modifier $R$ : cercle plus petit / plus grand (même centre).

• Un point $B$ est sur le cercle si l'équation est satisfaite.
• Il est à l'intérieur si $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2<R^2$, à l'extérieur si $>$.

Déterminer l'équation du cercle de centre $C(4;-1)$ et de rayon $R=3$.
Solution :

Soit $\Gamma : x^2+y^2-8x+2y+8=0$. Trouver son centre et son rayon.
Solution :

Le segment $[AB]$ est un diamètre, avec $A(3;2)$ et $B(-1;6)$. Déterminer l'équation du cercle.
Solution :
Centre = milieu de $A$ et $B$ :

Cercle de centre $C(1;-1)$ tangent à la droite $d: 5x-12y+9=0$. Trouver l'équation du cercle.
Solution :
Le rayon est la distance du centre à la droite :

la forme centre--rayon contient $R^2$ (pas $R$).

on ajoute et on retranche la même quantité, sinon on change l'équation.

• coefficients de $x^2$ et $y^2$ différents (après simplification) ou
• présence d'un terme $xy$ ou
• après mise sous forme centre--rayon : $R^2<0$ (aucun point réel).

$R^2=0 \Rightarrow (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=0$ donc l'ensemble se réduit au point $C(\alpha;\beta)$.

ne pas oublier la valeur absolue et la racine au dénominateur :

si l'équation est $k(x^2+y^2)+\dots =0$ avec $k\neq 0$, on peut d'abord diviser par $k$ pour revenir à $x^2+y^2+\dots =0$.

Je sais écrire : $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2$.

Je sais développer et regrouper pour obtenir $x^2+y^2+ax+by+c=0$.

Je sais compléter les carrés pour passer de la forme développée à la forme centre--rayon.

Je sais lire $C\left(-\frac a2;-\frac b2\right)$ et $R^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2-c$.

Je vérifie toujours la condition $R^2\ge 0$.

Je sais trouver un cercle défini par un diamètre $[AB]$ (milieu + demi-longueur).

Je sais poser $x^2+y^2+ax+by+c=0$ pour un cercle passant par 3 points et former le système.

Je sais utiliser $\dist(C,d)$ pour une tangence à une droite (centre connu).

Je repère les pièges : signe du centre, oubli de $R^2$, erreurs de complétion des carrés.