Épreuve de maturité 2026 de maths, niveau standard

Résoudre l’équation $f(x)=g(x)$.

Déterminer par calcul les zéros de $f$, le comportement de $f$ vers $\pm\infty$ et les abscisses des points à tangente horizontale de $f$, en justifiant la nature de ces points.

Tracer soigneusement, dans un même repère, les représentations graphiques de $f$ et $g$.

Montrer que $F(x)=-\dfrac{1}{4}(x+1)^{2}e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$, puis calculer l’aire de la surface fermée comprise entre les représentations graphiques de $f$ et de $g$.

Soit $d_{1}$ la droite tangente à la représentation graphique de $f$ au point d’abscisse $x_{0}$ et $d_{2}$ la droite tangente à la représentation graphique de $g$ au même point d’abscisse $x_{0}$. Existe-t-il un réel $x_{0}<0$ tel que les pentes des droites $d_{1}$ et $d_{2}$ soient égales ? Justifier la réponse par un calcul et donner, si elle existe, la valeur de $x_{0}$.

Montrer que le cercle $\Gamma$ centré en $C$ et tangent à la droite $d$ admet pour équation $\Gamma\;:\;x^{2}+y^{2}+2x-4y-5=0$.

Vérifier que la droite $g$ est aussi tangente à $\Gamma$ et calculer les coordonnées du point de tangence $T$.

Calculer les coordonnées de $A$, le point d’intersection des droites $d$ et $g$.

Calculer l’équation de la droite $p$ passant par $C$ et qui forme avec les droites $d$ et $g$ un triangle isocèle en $A$. Pour la suite du problème, quel que soit le résultat trouvé, prendre pour l’équation de $p$ : $x+2y-3=0$.

Vérifier par calcul que le point $B$ est l’un des sommets du triangle isocèle en $A$ et calculer l’aire de ce triangle.

Calculer l’équation du cercle $\gamma$ passant par les points $B$ et $C$ et dont le centre $K$ appartient à la droite $g$.

Représenter la situation à l’aide d’un arbre.

Calculer la probabilité de l’événement : « On tire une seule boule, et elle est jaune, ou on tire deux boules jaunes ».

Calculer la probabilité de réaliser un total de 3 points.

On a obtenu un total de 3 points. Calculer la probabilité de n’avoir tiré que la boule rouge.

Calculer la probabilité d’obtenir au maximum 4 points.

Après avoir joué une fois, on remet toutes les boules et on rejoue une seconde fois selon les mêmes règles. Calculer la probabilité de ne tirer que des boules rouges au cours des deux parties.

On remplace le dé par un dé pipé : la probabilité de tirer deux boules vaut $p$, celle de ne tirer qu’une boule vaut $1-p$. Calculer la probabilité, en fonction de $p$, de l’événement : « On tire une seule boule, et elle est jaune, ou on tire deux boules jaunes ».

Pour quelle valeur de $p$ la probabilité de tirer une unique boule, de couleur jaune, est-elle égale à la probabilité de tirer exactement deux boules jaunes ?

Déterminer les équations paramétriques de la droite $d_{1}$ passant par les points $A(2\,;5\,;2)$ et $B(0\,;5\,;4)$.

Le point $C(0\,;5\,;-4)$ appartient-il à la droite $d_{1}$ ? Justifier par des calculs.

Un élève affirme : « La droite $d_{1}$ est parallèle au plan $Oxz$. » L’assertion est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

Soient $d_{2}$ et $d_{3}$ les droites d’équations paramétriques
$d_{2}:\begin{cases} x=-1+4\lambda \\ y=\lambda \\ z=8+3\lambda \end{cases}$ et
$d_{3}:\begin{cases} x=1-3\mu \\ y=-3+\mu \\ z=1+2\mu \end{cases}$ ($\lambda,\mu\in\mathbb{R}$).
Déterminer la position relative de $d_{2}$ et $d_{3}$. Si elles sont sécantes, préciser les coordonnées du point d’intersection.

Déterminer l’angle aigu $\varphi$ formé par les droites $d_{2}$ et $d_{3}$ (réponse en degrés, arrondie au dixième).

Calculer les équations paramétriques du plan $\pi_{1}$ contenant les points $A$, $B$ et $D(-1\,;1\,;2)$.

Soit $\pi_{2}$ le plan d’équations paramétriques $x=1+2\lambda$, $y=1+2\mu$, $z=10+\lambda+2\mu$ ($\lambda,\mu\in\mathbb{R}$). Montrer que $d_{2}$ est incluse dans $\pi_{2}$.

$\dfrac{x^{3}+4}{x+1}=4$.

$x^{3}-19x-30=0$, après avoir vérifié que $x=-2$ est une solution.

$\dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}+3x+2}\leqslant 0$.

$2\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1=0$ ; ne donner que les solutions dans l’intervalle $[0\,;2\pi[$.