Épreuve de maturité 2026 de maths, niveau renforcé

Donner le domaine de définition de $f$.

À l’aide des règles de dérivation, montrer que $f'(x)=\dfrac{3x^{5}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$.

Établir le tableau de variation de $f$ et donner les coordonnées du point de son graphe à tangente horizontale.

Déterminer les coordonnées de l’unique point d’inflexion du graphe de $f$, en prenant pour acquis que $f''(x)=\dfrac{-3x^{7}+15x^{4}}{\left(x^{3}+1\right)^{3}}$.

Montrer que le graphe de $f$ n’a pas d’asymptote horizontale ni d’asymptote oblique.

Le graphe de $f$ admet une seule asymptote. Donner l’équation de cette asymptote. Aucun calcul explicite de limite n’est exigé.

Représenter le graphe de $f$ et son asymptote dans un repère orthonormé (unité : deux carrés).

Donner l’ensemble image de $f$.

Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} e^{f(x)}\cdot f'(x)\,dx$.

On tire un dé au hasard et on le lance. Quelle est la probabilité d’obtenir six points ?

On tire un dé au hasard, on le lance deux fois et on obtient chaque fois six points. Quelle est la probabilité que le dé soit spécial ?

On tire successivement et sans remise trois dés de l’urne. Quelle est la probabilité que le dé spécial se trouve parmi les dés tirés ?

On lance simultanément les dix dés contenus dans l’urne. Quelle est la probabilité que la moitié des dés affichent six points ?

Combien de dés spéciaux (dont toutes les faces affichent six points) faut-il ajouter dans l’urne pour que la probabilité d’obtenir six points en lançant un dé tiré au hasard soit égale à $\frac12$ ?

Pour la dernière question, on suppose que le poids des dés contenus dans cette urne suit une loi normale de moyenne 10 grammes et d’écart type 1 gramme.

On tire au hasard un dé de l’urne, puis on le pèse. Quelle est la probabilité que son poids soit supérieur à 9 grammes ?

Déterminer les coordonnées du point $D$ de sorte que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

Calculer l’aire du parallélogramme $ABCD$.

Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\alpha$ est $x-2y+2z-10=0$.

Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans $\pi_{1}$ et $\pi_{2}$ qui sont parallèles au plan $\alpha$ et à distance $4$ du plan $\alpha$.

On considère encore la droite $d$ passant par $E(10\,;1\,;4)$ et de vecteur directeur $\vec{t}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Déterminer les coordonnées du point d’intersection $F$ de la droite $d$ et du plan $\alpha$.

Calculer l’angle aigu sous lequel la droite $d$ coupe le plan $\alpha$.

Trouver les coordonnées d’un point $P$ sur la droite $d$ qui forme avec les points $A$ et $B$ un triangle rectangle en $P$. Remarque : il y a deux solutions, on ne demande que celle où les trois coordonnées sont entières.

Calculer son aire, sachant que les longueurs de ses trois côtés sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Deuxième partie. On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_{n}-8$, avec $u_{0}=6$. (Dans l’énoncé officiel, les questions de cette partie sont numérotées a) à f) ; elles sont renumérotées b) à g) ci-dessous.)

Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$.

La suite $(u_{n})$ est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.

La suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.

Pour tout entier naturel $n$, on définit une suite $(w_{n})$ par $w_{n}=u_{n}-4$. Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison $r=3$ et donner $w_{0}$. Rappel : pour montrer qu’une suite est géométrique, il ne suffit pas de montrer que quelques termes sont en progression géométrique.

Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ et en déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

Pour chaque entier naturel $n$, on définit $S_{n}$ par $S_{n}=w_{0}+w_{1}+w_{2}+\ldots+w_{n-1}+w_{n}$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $S_{n}\geqslant 10^{35}$.

Vérifier par un calcul que, pour toute valeur du paramètre $k$, le vecteur $\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda_{1}$ et préciser la valeur de $\lambda_{1}$.

Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $k$ l’application $f$ possède deux valeurs propres $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ distinctes.

Pour $k=-\dfrac13$, on a $F=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -\frac13 & -1 \end{pmatrix}$. Vérifier par calcul que, dans ce cas, $F^{2}$ est la matrice nulle.

Pour $k=3$, on a $F=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$. Si $\lambda_{1}$ est la valeur propre associée au vecteur $\vec{v}_{1}$ demandée au point a), déterminer, dans ce cas, la deuxième valeur propre $\lambda_{2}$ de $f$ ainsi qu’un vecteur propre associé à $\lambda_{2}$.

Deuxième partie. Pour la suite de l’exercice, on considère l’application linéaire $g$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ donnée par sa matrice $G=\begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}3 \\ 0{,}3 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$.

Déterminer $\vec{t}$ un vecteur non nul du noyau de $g$ et $\vec{u}$ un vecteur non nul de l’image de $g$, puis vérifier que les vecteurs $\vec{t}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux.

Vérifier par calcul que $G^{2}=G$.

Donner $G^{13}$.