Épreuve de maturité 2024 de maths, niveau renforcé

Déterminer l’ensemble de définition de $f$, puis résoudre l’équation $f(x)=0$.

Calculer les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$ et $+\infty$ et donner les équations des éventuelles asymptotes au graphe de $f$.

Calculer la dérivée de $f$ et montrer qu’elle peut s’écrire $f'(x)=\dfrac{(1+2\ln(x))(3-2\ln(x))}{x^2}$.

Etablir le tableau de variation de $f$ et donner les coordonnées des éventuels extremums du graphe de $f$.

Tracer le graphe de $f$ dans un repère de 2 carrés d’unité.

Déterminer l’équation de la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $1$.

Calculer l’aire de la région du plan délimitée par le graphe de $f$, l’axe des $x$ et les droites verticales d’équation $x=1$ et $x=e$.

Considérons l’application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $f\!\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2x+3y\\y-2a\end{pmatrix}$ où $a\in\mathbb{R}$.
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $a$ cette application $f$ est linéaire.

Donner la forme explicite de $g$, c’est-à-dire, donner l’image d’un vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ par $g$.

Donner le noyau et l’image de $g$.

Calculer, si elle existe, la matrice de la réciproque de $g$.

Calculer les éventuelles valeurs propres de $g$.

Montrer que $M$ peut s’écrire sous la forme $M=R\cdot H$, où $R$ est la matrice d’une rotation dont vous donnerez l’angle $\alpha$ ($0\leq \alpha\leq \pi$) et $H$ est la matrice d’une homothétie dont vous donnerez le rapport $h$. Donner les matrices $R$ et $H$.

Donner la matrice $M^4$, où $M^4=M\cdot M\cdot M\cdot M$.

Déterminer l’équation cartésienne du plan parallèle au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$.

Calculer l’angle aigu formé par le plan $(ABC)$ et la droite $(CE)$.

Déterminer les équations paramétriques de la droite $p$ qui passe par le point $A$ et qui coupe la droite $(BC)$ à angle droit.

On considère la droite $d$ perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par $A$.
Calculer le volume du tétraèdre $(ABCD)$ où $D$ est le point de $d$ de première coordonnée nulle.

Bertrand a tiré 2 jetons Y, 2 jetons O et 2 jetons U. Combien de mots différents de six lettres, ayant une signification ou non, peut-il former avec ces lettres ?

Montrer que la probabilité que Bertrand tire 6 voyelles distinctes est égale à 3,93 %.

Calculer la probabilité que Bertrand tire au moins un jeton Y.

Bertrand joue 7 fois à ce jeu. Entre chaque jeu, il remet les 6 jetons tirés dans l’urne.
Calculer la probabilité qu’exactement 2 fois il tire 6 voyelles différentes.

Trois joueurs, Bertrand, Christian et Didier, tirent l’un après l’autre 6 jetons de l’urne, sans remise entre les joueurs. Après les tirages, l’urne est donc vide.

Calculer la probabilité que les trois joueurs tirent les mêmes lettres (on ne tient pas compte de l’ordre).

Calculer $u_2$ et $u_3$, les mensualités versées le deuxième et le troisième mois.

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ où $u_n$ désigne le versement effectué le mois $n$ $(1\leq n\leq 12)$ ? On précisera le premier terme et la raison de $(u_n)$.

Donner une formule permettant de calculer $u_n$ en fonction de $n$.

Donner une formule permettant de calculer en fonction de $n$ ce que Maurice a déjà remboursé en $n$ mois et en déduire le prix qu’il aura finalement payé son ordinateur.

Le cas d’Eugène

Eugène choisit une autre modalité. Après avoir versé un acompte, il versera durant chacun des onze mois suivants la somme versée le mois précédent diminuée de 5%.

On note $v_1$ l’acompte versé dans la modalité adoptée par Eugène. Lorsque l’on aura ajouté à cet acompte $v_1$ les 11 versements suivants, Eugène aura payé en tout 2298,20 francs.

Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?

Calculer l’acompte $v_1$ versé par Eugène.

Le cas de Roland

Roland choisit encore une autre modalité de remboursement.
Après avoir payé un acompte de 360 francs, il payera chacun des onze mois suivants un montant diminué de 3% par rapport à celui payé le mois précédent, diminué encore de 24 francs. On notera $w_n$ le montant versé le mois numéro $n$. Donc, $w_1=360$ et $w_{n+1}=0{,}97\,w_n-24\quad(n\geq 1)$.

Considérons maintenant la suite définie par $x_n=w_n+800$.
Montrer que $(x_n)$ est une suite géométrique de raison $r=0{,}97$.
Rappel : il ne suffit pas de montrer que quelques termes sont en progression géométrique pour prouver que toute la suite l’est.

Calculer $x_{12}$ et en déduire $w_{12}$, le montant versé par Roland le douzième mois.

Considérons maintenant la suite $(x_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
Calculer la somme infinie de tous les termes de la suite $(x_n)$.