Flashcards : Algèbre linéaire

tableau rectangulaire de réels $A=(a_{ij})$ de type $m\times n$ ( $m$ lignes, $n$ colonnes), $a_{ij}$ à la ligne $i$, colonne $j$.

Pour $\lambda,\mu\in\R$ : $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$ ; $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$ ; $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$ ; $1\,A=A$.

$A(BC)=(AB)C$ (si dimensions compatibles).

$A(B+C)=AB+AC$ ; $(A+B)C=AC+BC$ (si dimensions compatibles).

$A\Id_n=A$ si $A$ est $m\times n$ ; $\Id_m A=A$ si $A$ est $m\times n$.

Pour $A\in\Mn$, une matrice $A^{-1}$ vérifie $AA^{-1}=\Id_n=A^{-1}A$ (existe seulement si $A$ est inversible).

Pour $A\in\Mn$,

type $n\times n$ (ordre $n$). Diagonale principale : $(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn})$.

$\Id_n=(\delta_{ij})$ où $\delta_{ij}=1$ si $i=j$, $0$ sinon.

$1\times n$. Matrice colonne : $n\times 1$.

$0_{m\times n}$ (tous les coefficients nuls).

Si $A\in\mathcal{M}_{m,n}$ et $B\in\mathcal{M}_{n,p}$,

Si $A$ est $m\times n$ et $B$ est $n\times p$, alors $AB$ est $m\times p$.

Pour $A$ carrée : $A^0=\Id_n$, $A^{k+1}=A^kA$.

$\rank(A)$ = nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée (le rang ne dépend pas de l'échelonnement).

$(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}$.

Pour $A,B$ de même type : $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Si $A\in \Mmn$, alors $A^{\transp}\in \mathcal{M}_{n,m}(\R)$ et $(A^{\transp})_{ij}=a_{ji}$.

$A=B$ ssi même type et $a_{ij}=b_{ij}$ pour tout $(i,j)$.