Puissances et racines

Pour $a\in\R$ et $n\in\N$ :

Pour $a\in\R^\ast$ et $n\in\Nstar$ :

$a$ = base, $n$ = exposant.

Pour $a\in\Rp$ et $n\in\Nstar$ :

• $\rt[2]{a}=\sqrt{a}$ (racine carrée), $\rt[3]{a}$ (racine cubique).
• Si $a<0$ : $\rt[n]{a}$ est définie en réels seulement si $n$ est impair (alors $\rt[n]{a}<0$).

Pour $a>0$, $p\in\Z$, $q\in\Nstar$ :

(pour $a,b\in\R$, avec conditions indiquées) :

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (mêmes bases).
• $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (si $a\neq 0$).
• $(a^m)^n=a^{mn}$.
• $(ab)^n=a^n b^n$ (utile surtout si $n\in\Z$).
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ (si $b\neq 0$).
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ (si $a\neq 0$).

(en général pour $a,b\ge 0$, $n\in\N^\ast$) :

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}$.
• $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\quad (b>0)$.
• $\big(\sqrt[n]{a}\big)^n=a$.
• $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ si $n$ est pair, et $\sqrt[n]{a^n}=a$ si $n$ est impair.

(pour $a>0$) :

• $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}$, $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$.
• $a^{-\frac{p}{q}}=\dfrac{1}{a^{\frac{p}{q}}}$.

En général :
$\sqrt[n]{a+b}\neq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$.

• Regrouper les termes de même base : utiliser $a^m a^n=a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• Transformer les exposants négatifs : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
• Simplifier les produits/quotients de nombres : séparer $(ab)^n=a^n b^n$ si ça aide.
• Vérifier les conditions : divisions par $0$, base nulle avec exposant négatif, etc.

• Factoriser le nombre sous la racine pour isoler une puissance $n$-ième : $a = c^n\cdot d$.
• Sortir la puissance parfaite : $\sqrt{n}{c^n d}=c\sqrt[n]{d}$ (avec $c\ge 0$ si $n$ pair).
• Réduire le nombre sous la racine au plus simple (éviter des grands nombres).

• Si $\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ : multiplier haut et bas par $\sqrt{a}$.
• Si $\dfrac{1}{u+\sqrt{v}}$ : multiplier par le conjugué $u-\sqrt{v}$.
• Simplifier le résultat.

• Reconnaître : $\sqrt[q]{a^p}\ \leftrightarrow\ a^{p/q}$ (avec $a>0$ au niveau réels).
• Simplifier en utilisant les règles des puissances, puis revenir en racines si souhaité.

• Mettre sous la forme $(\text{expression})^2 = k$ avec $k\ge 0$.
• Prendre la racine carrée : $\text{expression}=\pm\sqrt{k}$.
• Isoler $x$ et vérifier (surtout si transformations ont pu ajouter des solutions).

• $a^n$ (avec $n\in\N$) : multiplications répétées (croissance rapide si $|a|>1$, décroissance vers $0$ si $0<|a|<1$).
• $\sqrt{x}$ : inverse de $x^2$ sur $x\ge 0$ (même idée pour $\sqrt[n]{x}$ et $x^n$ selon la parité).

• $f(x)=x^2$ : définie sur $\R$, $f(x)\ge 0$, symétrie par rapport à l’axe $y$.
• $g(x)=\sqrt{x}$ : définie sur $[0,+\infty)$, $g(x)\ge 0$, croissante.
• Lien : $g$ est la réciproque de $f$ restreinte à $x\ge 0$.

$\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\sqrt{a^2}=\abs{a}$ (et pas forcément $a$).

$\dfrac{a^m}{a^n}$ exige $a\neq 0$ (et tout dénominateur $\neq 0$).

$a^{-n}$ n’a pas de sens si $a=0$.

$0^0$ est non défini dans la plupart des contextes scolaires.

• $\sqrt[3]{-8}=-2$ (indice impair : OK).
• $\sqrt{-16}$ n’est pas définie dans $\R$ .

au niveau réel, on retient en pratique

attention aux erreurs de signe avec les conjugués :

Je sais appliquer $a^m a^n=a^{m+n}$ et $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$ (avec $a\neq 0$).

Je transforme correctement $a^{-n}$ en $\dfrac{1}{a^n}$.

Je sais simplifier $(a^m)^n=a^{mn}$.

Je sais extraire une puissance parfaite d’une racine (ex. $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$).

Je sais quand $\sqrt[n]{a}$ est définie dans $\R$ (selon le signe de $a$ et la parité de $n$).

Je n’écris jamais $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Je sais que $\sqrt{a^2}=\abs{a}$.

Je sais rationaliser un dénominateur avec $\sqrt{\cdot}$ (et avec un conjugué si besoin).

Je sais résoudre $(x-a)^2=k$ en écrivant $x-a=\pm\sqrt{k}$.

Je sais relier racines et puissances rationnelles : $a^{1/q}=\sqrt[q]{a}$ (avec $a>0$ en réels).