Applications concrètes

augmenter de $p\%$ revient à multiplier par $1+\dfrac{p}{100}$ ; diminuer de $p\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac{p}{100}$.

une quantité change de la même proportion à chaque période.

$a=1+r$ si $r$ est le taux par période (ex. $r=0{,}03$ pour $3\%$).

pour $a>0$, $a\neq 1$, et $x>0$,

intérêts composés, inflation, démographie, dépréciation, radioactivité (demi-vie), échelles logarithmiques (pH, décibels, Richter), lois de refroidissement/approche (modèles en $\e^{kt}$).

• Identifier $Q_0$ (valeur initiale) et le taux $r$ par période (en décimal).
• Choisir le facteur $a=1+r$ (croissance) ou $a=1-r$ (décroissance).
• Écrire $Q(t)=Q_0\cdot a^t$ avec $t$ = nombre de périodes.
• Vérifier : à $t=0$, on retrouve $Q(0)=Q_0$.

• Écrire le modèle $Q(t)=Q_0 a^t$.
• Remplacer $t$ par le nombre de périodes et calculer.
• Donner une réponse avec unités (CHF, habitants, mg, …) et arrondir raisonnablement.

• Partir de $Q(t)=Q_0 a^t$.
• Isoler $Q_0$: \ $Q_0=\dfrac{Q(t)}{a^t}$.
• Calculer et interpréter (valeur à l'origine).

• Écrire $Q_0 a^t=Q_{\text{cible}}$.
• Diviser par $Q_0$: $a^t=\dfrac{Q_{\text{cible}}}{Q_0}$.
• Prendre un logarithme (souvent $\ln$) : $t\ln a=\ln\!\left(\dfrac{Q_{\text{cible}}}{Q_0}\right)$.
• Isoler $t$ : $t=\dfrac{\ln\!\left(\frac{Q_{\text{cible}}}{Q_0}\right)}{\ln a}$.
• Contrôle : : si $Q_{\text{cible}}>Q_0$ et $a>1$, alors $t>0$.

• Partir de $Q(t)=Q_0(1+r)^t$.
• Isoler $(1+r)^t=\dfrac{Q(t)}{Q_0}$.
• Prendre $\ln$ : $t\ln(1+r)=\ln\!\left(\dfrac{Q(t)}{Q_0}\right)$.
• Isoler $1+r=\exp\!\left(\dfrac{1}{t}\ln\!\left(\dfrac{Q(t)}{Q_0}\right)\right)$ puis $r=(1+r)-1$.

• Identifier la base ($\log_{10}$ souvent) et la grandeur mesurée.
• Comprendre qu'une différence en échelle log correspond à un rapport en grandeur réelle.
• Utiliser les règles : $\log(x)-\log(y)=\log\!\left(\dfrac{x}{y}\right)$.

• $Q_0$ : valeur initiale.
• $a$ : facteur multiplicatif par période.
• $a>1$ : croissance (courbe qui monte) ; $0<a<1$ : décroissance (courbe qui descend vers $0$).

si $r$ est le taux (en décimal), alors $a=1+r$.

• Exemple : $+3\% \Rightarrow a=1{,}03$ ; $-15\% \Rightarrow a=0{,}85$.

plus $r$ est grand, plus le doublement est rapide :

si chaque année on ajoute le même % (et pas la même quantité), alors le modèle est exponentiel.

une augmentation de $1$ unité sur une échelle en base $10$ correspond à une multiplication par $10$ de la grandeur réelle.

Graphe typique : croissance vs décroissance (discret, prolongé en continu pour visualiser).

Un capital de $C_0=15\,000$ CHF est placé à $3{,}5\%$ par an, capitalisation annuelle. Quelle valeur après $18$ ans ?

Une voiture achetée 15 000 CHF perd $15\%$ de sa valeur chaque année. Quelle valeur après $4$ ans ?

Une population augmente de $7\%$ par an. Après combien d'années double-t-elle ?

Une substance suit $Q(t)=Q_0\cdot 2^{-t/T}$. On observe qu'après $1$ an, il reste $99{,}57\%$ de la quantité initiale. Estimer $T$.

$+5\%$ signifie $\times 1{,}05$ (pas $+0{,}05$ en valeur absolue).

$-10\%$ puis $-10\%$ donne $\times 0{,}9\times 0{,}9=\times 0{,}81$ (soit $-19\%$, pas $-20\%$).

$\ln(x)$ et $\log(x)$ ne sont définis que pour $x>0$.

$\ln$ (base $\e$) et $\log$ (souvent base $10$) ne donnent pas les mêmes valeurs, mais conduisent au même résultat final si on reste cohérent.

si $0<a<1$ et qu'on cherche un seuil plus grand que $Q_0$, l'équation n'a pas de solution en $t\ge 0$ (le modèle décroît).

arrondir à la fin pour éviter des erreurs (surtout pour des puissances).

toujours préciser l'unité de $t$ (années, minutes, …) et vérifier la cohérence du taux par période.

un modèle exponentiel $Q_0 a^t$ reste positif si $Q_0>0$ et $a>0$ (utile pour détecter une erreur de saisie).

Je sais convertir un taux $p\%$ en facteur $1+\frac{p}{100}$ (ou $1-\frac{p}{100}$).

Je reconnais une situation exponentielle (même % à chaque période).

Je sais écrire $Q(t)=Q_0(1+r)^t$ et identifier $Q_0$, $r$, $t$.

Je sais calculer une valeur future et une valeur passée avec le modèle.

Je sais résoudre $Q_0a^t=Q$ pour $t$ avec les logarithmes.

Je sais calculer un temps de doublement (ou pour multiplier par $m$).

Je sais retrouver un taux $r$ à partir de deux valeurs (avec $\ln$).

Je vérifie la cohérence : signe de $t$, croissance/décroissance, unités.

Je maîtrise les règles : $\ln(xy)$, $\ln(x/y)$, $\ln(x^k)$.

Je sais interpréter une échelle logarithmique comme un rapport.