Fonctions exponentielles et logarithmiques

($a>0$, $a\neq 1$) : $f(x)=a^x$ définie sur $\R$, à valeurs dans $\Rp$.

$f(x)=e^x$ où $e \approx 2{,}71828$.

($a>0$, $a\neq 1$) : $\log_a(x)$ est la fonction réciproque de $a^x$.

$\ln(x)=\log_e(x)$ (réciproque de $e^x$).

croissance/décroissance exponentielle, base, réciproque (inverse), asymptote horizontale/verticale, composition.

• Si $a>1$, alors $a^x$ est strictement croissante sur $\R$.
• Si $0<a<1$, alors $a^x$ est strictement décroissante sur $\R$ (décroissance exponentielle).

$\log(x)$ peut désigner $\log_{10}(x)$ selon le contexte ; en analyse on privilégie $\ln(x)$.

(pour $x,y\in\R$, $n\in\mathbb{Z}$)

(pour $x>0$, $y>0$, $n\in\mathbb{R}$)

(pour $a>0$, $a\neq 1$, $x>0$)

• Mettre l’équation sous la forme $e^{A(x)}=k$ (avec $k>0$).
• Appliquer $\ln$ : $A(x)=\ln(k)$.
• Résoudre l’équation obtenue et vérifier.

• Déterminer l’ED : imposer toutes les conditions $\,(\text{argument de }\ln>0)$.
• Simplifier avec les règles (produit/quotient/puissance) si utile.
• Passer à l’exponentielle : si $\ln(U)=c$ alors $U=e^c$.
• Résoudre puis éliminer les solutions hors ED.

Utiliser la monotonie stricte de $e^x$ et $\ln x$ (toutes deux croissantes) pour comparer les membres sans inverser le sens :

Écrire l’ED (si $\ln$ apparaît).

Utiliser la monotonie :

• $e^x$ est strictement croissante sur $\R$.
• $\ln x$ est strictement croissante sur $(0,+\infty)$.

Ainsi, on peut comparer les arguments :

$e^{f(x)}$ ou $\ln(f(x))$ :

• Identifier la forme (composition, produit, quotient).
• Appliquer les règles usuelles : produit, quotient, chaîne.
• Pour $\ln(f(x))$ : ajouter la condition $f(x)>0$ (ED).

• Réécrire la limite sous forme de quotient, p.ex. $x^2e^{-x}=\dfrac{x^2}{e^x}$.
• Utiliser l’ordre de dominance à $+\infty$ :

• Conclure : polynôme sur exponentielle $\to 0$, exponentielle sur polynôme $\to +\infty$.

• Mettre sous la forme $a^{A(x)}=k$ avec $a>0$, $a\neq 1$ et $k>0$.
• Appliquer $\ln$ : $A(x)\ln(a)=\ln(k)$, donc $A(x)=\dfrac{\ln(k)}{\ln(a)}$.
• Résoudre et vérifier (notamment $k>0$ et les éventuels dénominateurs).

$A(x)^{B(x)}=C(x)$ :

• Imposer $A(x)>0$ (pour pouvoir prendre $\ln$).
• Prendre $\ln$ des deux côtés : $B(x)\ln(A(x))=\ln(C(x))$ (avec $C(x)>0$).
• Résoudre l’équation obtenue puis contrôler l’ED.

• Identifier que $a^x$ est décroissante.
• Comparer les exposants en renversant le sens :

• Résoudre puis vérifier.

$\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : B--H :

• Vérifier la forme : numérateur et dénominateur $\to 0$ ou $\to \pm\infty$.
• Dériver numérateur et dénominateur, puis recalculer la limite.
• Répéter si nécessaire (tant qu’on reste dans une forme indéterminée).

• Calculer $m=\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ (si la limite existe).
• Calculer $h=\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-mx\big)$ (si la limite existe).
• Conclure : si $\delta(x)=f(x)-(mx+h)\to 0$, alors $y=mx+h$ est une asymptote (à droite/gauche selon le cas).

• ED : imposer tous les arguments de $\ln$ strictement positifs.
• Limites aux bornes de l’ED : souvent $x\to 0^+$, $x\to +\infty$, et points interdits.
• Dérivée : utiliser $\big(\ln(f(x))\big)'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ (avec $f(x)>0$).
• Signe de $f'(x)$ : tableau de variations, puis concavité si demandé (via $f''$).

• $e^x$ est strictement croissante sur $\R$ et $e^x>0$.
• $\ln x$ est strictement croissante sur $(0,+\infty)$, et $\ln x<0$ si $0<x<1$, $\ln x>0$ si $x>1$.

• Pour $e^x$ : asymptote horizontale $y=0$ quand $x\to-\infty$.
• Pour $\ln x$ : asymptote verticale $x=0$ quand $x\to 0^+$.

• Les courbes de $y=e^x$ et $y=\ln x$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

• $e^x$ est convexe sur $\R$ : les tangentes sont en dessous de la courbe (ex : $e^x\ge 1+x$).
• $\ln x$ est concave sur $(0,+\infty)$ : les tangentes sont au-dessus de la courbe (ex : $\ln x\le x-1$).

• Toutes les courbes passent par $(0,1)$.
• Si $a>1$ : croissance (plus $a$ est grand, plus la croissance est rapide).
• Si $0<a<1$ : décroissance (et $a^x=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$).

[Voir graphique dans la fiche complète]

• À gauche, $e^x$ s’approche de $0$ sans jamais l’atteindre.
• Près de $0^+$, $\ln x$ descend vers $-\infty$.
• L’intersection avec $y=x$ illustre la relation de réciprocité (symétrie).

[Voir graphique dans la fiche complète]

• Résoudre $\ln(x-2)=4$.

ED : $x-2>0 \Rightarrow x>2$.
$\ln(x-2)=4 \iff x-2=e^4 \iff x=2+e^4$.
Vérification : $2+e^4>2$ donc solution OK.
Solution : $x=2+e^4$.

• Résoudre $e^{x+4}=5$.

Comme $5>0$, on applique $\ln$ : $x+4=\ln(5)$, donc $x=\ln(5)-4$.
Solution : $x=\ln(5)-4$.

• Variante : résoudre $10^x=7$. On réécrit $10^x=e^{x\ln(10)}$. Comme $7>0$ :

• Variante : résoudre $3^{2x-1}=5$.

Comme $5>0$ :

Calculer

dans toute équation/inéquation avec $\ln(\cdot)$, imposer argument $>0$ (et aussi dénominateur $\neq 0$ s’il y a une fraction).

$\ln(x^2)=2\ln x$ n’est valable en réels que si $x>0$ (sinon $\ln x$ n’existe pas).

$e^x>0$ donc une équation $e^{A(x)}=k$ n’a aucune solution si $k\le 0$.

• Avec $e^x$ ou $\ln x$ (bases $e$), pas de renversement : elles sont croissantes.
• Avec $a^x$ si $0<a<1$, la fonction est décroissante (le sens d’une inéquation se renverse en comparant les exposants).

transformer $x^n e^{-x}$ en $\dfrac{x^n}{e^x}$ pour appliquer la règle du podium.

oublier la condition $f(x)>0$ mène à des erreurs d’ED et de solutions.

• B--H s’applique uniquement aux formes $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
• Vérifier que $g'(x)\neq 0$ près du point et que les fonctions sont dérivables sur un voisinage adapté.

• Trouver $m$ ne suffit pas : il faut aussi $h$ et vérifier $f(x)-(mx+h)\to 0$.
• Ne pas confondre « droite d’approximation » et « égalité ».

• En réels : $\ln(x)$ n’existe pas si $x\le 0$.
• Les expressions comme $\ln(x^2)$ sont définies pour $x\neq 0$, mais on ne peut pas écrire $2\ln(x)$ si $x<0$.

Je connais l’ED de $e^x$ et de $\ln x$.

Je sais utiliser $e^x=y \iff x=\ln y$ (avec $y>0$).

Je maîtrise les règles : $\ln(xy)$, $\ln(x/y)$, $\ln(x^n)$ (conditions).

Je sais résoudre $e^{A(x)}=k$ en appliquant $\ln$ (et je vérifie $k>0$).

Je sais résoudre $\ln(U)=c$ en passant à $U=e^c$ (et je contrôle $U>0$).

Je sais résoudre une équation $\ln(U)=\ln(V)$ en imposant d’abord $U>0$ et $V>0$.

Je connais : $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=1/x$.

Je sais dériver $e^{f(x)}$ et $\ln(f(x))$ (règle de la chaîne + ED).

Je sais lire les asymptotes : $y=0$ pour $e^x$ à gauche, $x=0$ pour $\ln x$.

Je sais utiliser la règle du podium : $\ln(x)\ll x^n \ll e^x$ quand $x\to+\infty$.

Je sais ramener $a^x$ et $\log_a$ à $\ln$ : $a^x=e^{x\ln(a)}$ et $\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$.

Je connais $(a^x)'=\ln(a)a^x$ et $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln(a)}$.

Je sais quand une inéquation se renverse (cas $0<a<1$).

Je reconnais une indétermination $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ et j’applique B--H correctement.

Je sais déterminer une asymptote oblique en calculant $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ puis $h=\lim(f(x)-mx)$.

Je connais les approximations : $e^x\approx 1+x$ et $\ln(1+x)\approx x$ (près de $0$) et je ne les confonds pas avec des égalités.