Logarithmes

un logarithme retrouve un exposant.

si $a>0$ et $a\neq 1$, et si $b>0$, alors

• Argument : $b>0$ (on ne prend pas le logarithme d'un nombre $\le 0$ en réels).
• Base : $a>0$ et $a\neq 1$.

• $\log(b)$ : logarithme décimal (base $10$), donc $\log(b)=\log_{10}(b)$.
• $\ln(b)$ : logarithme naturel (base $e$), donc $\ln(b)=\log_e(b)$.

pour $a>0$, $a\neq 1$, la fonction $f(x)=\log_a(x)$ est définie pour $x>0$.

$f(x)=\log_a(x)$ est la fonction réciproque de $g(x)=a^x$.

$x=\log_a(b)\Longleftrightarrow a^x=b$ (avec $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$).

pour tout $a>0$, $a\neq 1$,

(pour $x>0$, $y>0$, et $q\in\mathbb{R}$) :

(pour $a>0$, $a\neq 1$, $x>0$) :

• si $a>1$, alors $\log_a$ est croissante ;
• si $0<a<1$, alors $\log_a$ est décroissante.

• Identifier la base $a$, l'argument $b$, et le résultat $x$ dans $\log_a(b)=x$.
• Réécrire immédiatement : $a^x=b$.
• Vérifier que $a>0$, $a\neq 1$, et $b>0$.

• Reconnaître une puissance : écrire $b$ sous la forme $a^k$ si possible.
• Conclure : $\log_a(a^k)=k$.
• Exemples rapides : $\log(1000)=3$, $\ln(e^{-2})=-2$, $\log_2(32)=5$.

• Regrouper avec les lois : somme $\leftrightarrow$ produit, différence $\leftrightarrow$ quotient.
• Sortir les exposants : $\log_a(x^q)=q\log_a(x)$.
• Ne jamais « distribuer » sur une somme : pas de $\log(x+y)=\log x+\log y$.
• Garder les conditions : tous les arguments doivent rester $>0$.

• Isoler la puissance (ex. $a^{f(x)}=b$ avec $b>0$).
• Appliquer un logarithme adapté des deux côtés (souvent $\ln$ ou $\log$) :

$\ln\!\big(a^{f(x)}\big)=\ln(b)$.

• Utiliser $\ln(a^{f(x)})=f(x)\ln(a)$, puis résoudre l'équation obtenue.

• Domaine d'abord : imposer chaque argument $>0$.
• Regrouper les logs d'un même côté, puis utiliser les lois pour obtenir un seul log :

• Passer en exponentiel : si $\log_a(U)=k$ alors $U=a^k$.
• Résoudre puis vérifier que les solutions respectent le domaine.

• Utiliser le changement de base : $\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$ (ou avec $\log$).

$\log_a(x)$ est l'exposant qu'il faut mettre à $a$ pour obtenir $x$.

$x=0$ (la fonction n'est définie que pour $x>0$).

• si $a>1$ : $x\mapsto \log_a(x)$ est croissante (elle monte lentement) ;
• si $0<a<1$ : elle est décroissante.

les graphes de $y=a^x$ et $y=\log_a(x)$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ (fonctions réciproques).

Graphe (exemple) : $y=\ln(x)$ et l'asymptote $x=0$

Calculer :

• $1000=10^3 \Rightarrow \log(1000)=3$.
• $0{,}01=10^{-2} \Rightarrow \log(0{,}01)=-2$.
• $\ln(e^{-3})=-3$ (car $\ln(e^k)=k$).
• $32=2^5 \Rightarrow \log_2(32)=5$.

Simplifier :

Résoudre :

• Domaine : : $x+1>0 \Rightarrow x>-1$.
• Diviser par $3$ : $\log_2(x+1)=5$.
• Passer en exponentiel : $x+1=2^5=32$.
• Donc $x=31$, et $31>-1$ : solution $x=31$.

Résoudre :

• Domaine : : $x+2>0$ et $2x-1>0$ \ \ $\Rightarrow\ x>-2$ et $x>\tfrac12$ \ \ $\Rightarrow\ x>\tfrac12$.
• Regrouper :

• Même base et mêmes logs, donc égalité des arguments (car arguments $>0$ sur le domaine) :

• Résoudre :

• Vérification du domaine : $\frac{23}{41}\approx 0{,}561>\tfrac12$ ⇒ solution $x=\dfrac{23}{41}$.

$\log_a(\,\cdot\,)$ exige argument $>0$ ; la base doit vérifier $a>0$ et $a\neq 1$.

$\log(x+y)\neq \log x + \log y$ (aucune loi pour une somme).

après résolution d'une équation logarithmique, contrôler que les solutions donnent des arguments strictement positifs.

si $0<a<1$, alors $\log_a$ est décroissante. (Utile en comparaisons/variations.)

$\log_a(0)$ n'existe pas (en réels). On a plutôt $\log_a(x)\to -\infty$ quand $x\to 0^+$.

$\log$ est en base $10$ (souvent), $\ln$ en base $e$.

$\log_a(x^q)=q\log_a(x)$ seulement si $x>0$ (sinon $x^q$ peut poser problème en réels si $q$ n'est pas entier).

Je connais la définition : $\log_a(b)=x \Longleftrightarrow a^x=b$.

Je sais les conditions : $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$.

Je sais que $\log( \cdot )$ est en base $10$ et $\ln(\cdot)$ en base $e$.

Je sais : $\log_a(1)=0$ et $\log_a(a)=1$.

Je maîtrise : produit, quotient, puissance, inverse.

Je sais utiliser le changement de base $\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$.

Je sais transformer une équation logarithmique en équation exponentielle.

Je pense au domaine avant de résoudre et je vérifie après.

Je sais décrire le graphe : domaine $x>0$, asymptote $x=0$, point $(1,0)$.