Variables aléatoires discrètes

fonction $X : \Omega \to \R$ qui à chaque issue d'une expérience aléatoire associe un nombre réel. Notée en majuscule (ex. $X, Y$) ; ses valeurs en minuscule ($x, y$).

variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs possibles est fini ou dénombrable.

donnée des couples $(x_i, P(X = x_i))$ pour toutes les valeurs possibles. Les probabilités sont positives et leur somme vaut $1$.

moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Représente la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre de répétitions.

mesurent la dispersion autour de l'espérance. $V(X) = E((X - E(X))^2)$, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

$X$ vaut $1$ (succès) avec probabilité $p$, $0$ (échec) avec probabilité $1-p$. Modélise une expérience à deux issues.

$X$ = nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Attention : faux en général si elles ne le sont pas.

$P(X = 1) = p$, $P(X = 0) = 1 - p$. $E(X) = p$, $V(X) = p(1-p)$.

• Identifier toutes les valeurs possibles de $X$.
• Calculer $P(X = x_i)$ pour chacune.
• Vérifier que la somme vaut $1$.
• Présenter sous forme de tableau.

• Dresser le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i$.
• $E(X) = \sum x_i p_i$.
• Calculer $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.
• $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

• Nombre fixé $n$ de répétitions.
• Chaque épreuve a deux issues : succès / échec.
• Même probabilité $p$ de succès à chaque fois.
• Épreuves indépendantes.
• Si ces 4 conditions sont réunies, appliquer les formules.

• $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$.
• $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ (complément).
• Pour la loi binomiale avec $n$ grand, utiliser la calculatrice ou un tableau.

On lance un dé équilibré, $X$ = résultat affiché.

Loi : $P(X = i) = 1/6$ pour $i = 1, \dots , 6$.

$E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$.

$E(X^2) = \dfrac{1+4+9+16+25+36}{6} = \dfrac{91}{6}$.

$V(X) = \dfrac{91}{6} - 3{,}5^2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}92$.

On lance 10 fois une pièce équilibrée. $X$ = nombre de Pile. Alors $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}5)$.

$P(X = 5) = \binom{10}{5} 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^5 = 252 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}246$.

$E(X) = 10 \cdot 0{,}5 = 5$, $V(X) = 10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5$.

On mise 1 CHF. Avec probabilité $0{,}3$, on gagne 2 CHF (gain net = 1 CHF). Avec probabilité $0{,}7$, on perd sa mise (gain net = $-1$ CHF).

$E(X) = 0{,}3 \cdot 1 + 0{,}7 \cdot (-1) = -0{,}4$ CHF.

Le jeu est défavorable : on perd en moyenne 40 centimes par partie.

$X \sim \mathcal{B}(n_1, p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(n_2, p)$ indépendantes. Alors $X + Y \sim \mathcal{B}(n_1 + n_2, p)$.

$E(X+Y) = (n_1 + n_2)p$, $V(X+Y) = (n_1 + n_2) p (1-p)$.

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ est plus rapide en pratique. Attention : $E(X^2) \neq E(X)^2$ en général.

$V(aX) = a^2 V(X)$, pas $a V(X)$. Cette erreur est très fréquente.

$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

si les épreuves ne sont pas indépendantes (tirage sans remise par exemple), la loi n'est pas binomiale mais hypergéométrique.

toute loi de probabilité doit vérifier $\sum p_i = 1$. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

l'espérance est la moyenne, pas le mode. Par exemple, $E(X) = 3{,}5$ pour un dé alors qu'aucune face ne donne 3,5.

Je sais établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Je connais les formules de $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Je sais utiliser König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.

Je connais les propriétés de linéarité et de transformation affine.

Je sais reconnaître et utiliser les lois de Bernoulli et binomiale.

Je connais $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ pour $\mathcal{B}(n, p)$.