Diagramme de Venn

$\U$ : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

$A$ : sous-ensemble de $\U$ (on écrit $A\subseteq \U$).

représentation graphique de $\U$ (rectangle) et des événements (souvent des cercles) pour visualiser :

• l’intersection $A\cap B$ : « $A$ et $B$ » ;
• l’union $A\cup B$ : « $A$ ou $B$ » (ou inclusif) ;
• le complémentaire $\overline{A}$ : « non $A$ » ;
• la différence $A\setminus B$ : « $A$ mais pas $B$ ».

$A\cap B=\varnothing$ (ils ne peuvent pas se produire ensemble).

(cas fréquent en exercices) :

• on place des effectifs (nombres) dans les régions du diagramme ;
• si tous les résultats sont équiprobables : $P(A)=\dfrac{|A|}{|\U|}$.

\ (utile avec un diagramme)

• Si $A\cap B=\varnothing$ (incompatibles) : \ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

• « au moins un » $\Rightarrow$ union ($\cup$).
• « exactement un (des deux) » $\Rightarrow$ $(A\setminus B)\ \cup\ (B\setminus A)$.
• « aucun » $\Rightarrow$ complémentaire de l’union : $\overline{A\cup B}$.
• « les deux » $\Rightarrow$ intersection ($\cap$).

• Dessiner $\U$ (rectangle), puis deux cercles $A$ et $B$ qui se chevauchent.
• Identifier les 4 régions : $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$, $\overline{A\cup B}$.
• Placer d’abord : l’information la plus précise (souvent $A\cap B$).
• Compléter :

• Trouver l’extérieur :

• Passer aux probabilités : $P(\text{région})=\dfrac{\text{effectif région}}{\text{effectif total}}$ (si choix uniforme).

• Traduire : « au moins un » $\to A\cup B$ ; « aucun » $\to \overline{A\cup B}$.
• Calculer d’abord $P(A\cup B)$ via la formule d’addition.
• Puis utiliser le complémentaire : $P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)$.

• Dessiner trois cercles dans $\U$ et repérer la zone centrale $A\cap B\cap C$.
• Placer en premier $|A\cap B\cap C|$, puis les intersections exactement deux :

• Compléter les parties « seulement A », « seulement B », « seulement C ».
• Finir par l’extérieur : $|\overline{A\cup B\cup C}|=|\U|-|A\cup B\cup C|$.

• Trouver l’effectif favorable (combinaisons) et l’effectif total.
• Utiliser :

chaque région correspond à une combinaison de conditions.

• Zone commune $A\cap B$ : répond à « $A$ et $B$ ».
• Zone totale couverte $A\cup B$ : répond à « $A$ ou $B$ » (ou inclusif).
• Extérieur des cercles : répond à « ni $A$ ni $B$ », donc $\overline{A\cup B}$.

• « $A$ ou $B$ » = $A\cup B$ inclut aussi le cas où les deux arrivent ($A\cap B$).
• Le diagramme explique pourquoi on soustrait $P(A\cap B)$ : la zone commune a été comptée deux fois dans $P(A)+P(B)$.

[Voir graphique dans la fiche complète]

[Voir graphique dans la fiche complète]

Dans un groupe de $35$ élèves, $19$ font du volley ($V$), $22$ du basket ($B$) et $14$ font les deux.

• $P(V\cap B)=\dfrac{14}{35}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$.
• Effectif de $V\cup B$ :

• Aucun sport : $35-27=8$ donc $P(\overline{V\cup B})=\dfrac{8}{35}$.
• Seulement volley : $|V\setminus B|=|V|-|V\cap B|=19-14=5$ donc $P(V\setminus B)=\dfrac{5}{35}=\dfrac{1}{7}$.
• Basket ou volley : $P(V\cup B)=\dfrac{27}{35}$. Variante (2 élèves sans remise) : probabilité que les deux fassent du volley (peu importe s'ils font aussi basket).

Un appareil peut avoir un défaut $A$ ou un défaut $B$. On sait :

• Seulement $A$ :
  $$P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}10-0{,}04=0{,}06.$$
• Seulement $B$ :
  $$P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}08-0{,}04=0{,}04.$$
• Aucun défaut :
  $$P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B) =1-\bigl(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\bigr)$$

Dans une assemblée de $500$ personnes :

• Exactement deux langues : :
  $$|(F\cap I)\setminus A|=160-20=140,$$

• Au moins une langue : :
  $$|F\cup I\cup A|=300+200+90-160-60-40+20=350,$$

donc

On tire une carte d’un jeu de $52$ cartes.
Soit $N$ : « la carte est noire » et $F$ : « la carte est une figure (valet, dame, roi) ».

• En probabilités, « $A$ ou $B$ » signifie en général $A\cup B$ (le cas $A\cap B$ est inclus).
• « exactement un des deux » $\neq A\cup B$.

• Toujours commencer par la zone la plus précise (souvent $A\cap B$ ou $A\cap B\cap C$).
• Vérifier que la somme de toutes les régions vaut bien $|\U|$.

• Un effectif ne peut pas être négatif.
• Une probabilité doit rester dans $[0,1]$.

• « aucun » : $\overline{A\cup B}$ (extérieur des cercles).
• « pas seulement $A$ » : ne pas confondre $\overline{A}$ et $B$.

• Si $A\subseteq B$, alors $A\cup B=B$ et $A\cap B=A$.
• Si $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing$, adapter les formules (elles restent vraies).

J’identifie clairement l’univers $\U$ et les événements ($A,B,C$).

Je traduis le texte : « et » $\to \cap$, « ou » $\to \cup$, « non » $\to \overline{}$.

Je sais placer les régions : $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$, extérieur.

Je commence par l’intersection (et par $A\cap B\cap C$ si 3 ensembles).

J’utilise $P(\overline{A})=1-P(A)$ pour « aucun / pas » quand c’est plus simple.

Je connais $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et le cas incompatible.

Je vérifie que les effectifs/probabilités des régions sont cohérents (somme, non-négativité).

Si tirage de 2 éléments sans remise : je pense à $\binom{m}{2}/\binom{n}{2}$.

Je fais une phrase-réponse avec la probabilité finale (fraction simplifiée si possible).