Loi binomiale (épreuves de Bernoulli)

expérience à deux issues : succès $S$ ou échec $E$.

$p=\mathbb{P}(S)$ et $q=\mathbb{P}(E)=1-p$.

on répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, avec :

• • mêmes probabilités à chaque étape ($p$ constant),
• indépendance : entre les répétitions.

$X=$ nombre de succès obtenus en $n$ répétitions.

On note : $X\sim\Bin(n,p)$ (loi binomiale de paramètres $n$ et $p$).

$X\in\{0,1,2,\dots ,n\}$.

(fonction de masse) :

(lecture du « centre » et de l'étalement) :

• • Identifier l'épreuve : deux issues (succès/échec).
• Vérifier que la probabilité de succès est constante : $p$.
• Vérifier l'indépendance des répétitions.
• Définir $X=$ nombre de succès en $n$ répétitions, puis écrire $X\sim\Bin(n,p)$.

$\mathbb{P}(X=k)$ (exactement $k$ succès) :

• • Relever $n$, $p$ et $k$ (avec $0\le k\le n$).
• Calculer $q=1-p$.
• Appliquer :

• • « Au plus $r$ » : calculer $\mathbb{P}(X\le r)=\sum_{k=0}^{r}\mathbb{P}(X=k)$.
• « Au moins $r$ » : utiliser de préférence le complément :

• • Calculer l'événement complémentaire : « aucun succès » ($X=0$).
• Utiliser :

• • Partir de $1-(1-p)^n \ge \alpha$ (ou $>$).
• Isoler $(1-p)^n \le 1-\alpha$.
• Prendre les logarithmes (si nécessaire) :

• Attention : $\ln(1-p)<0$ (si $0<p<1$) ⇒ le sens de l'inégalité s'inverse en divisant.
• Conclure avec le plus petit entier $n$ qui convient.

$X\sim\Bin(n,p)$ compte le nombre de succès : c'est une distribution discrète (barres).

Interprétation de $\binom{n}{k}$ : nombre de façons de placer $k$ succès parmi $n$ essais.

Lecture rapide :

• • Centre : de la distribution : autour de $np$.
• Dispersion : typiquement de l'ordre de $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
• Si $p=\tfrac12$, la distribution est symétrique.
• Si $p$ est proche de $0$ (ou $1$), la masse est concentrée près de $0$ (ou près de $n$).

Exemple de graphe : $X\sim\Bin(10,\tfrac12)$

On lance $10$ fois une pièce. On appelle succès : « obtenir pile ».
Alors $p=\tfrac12$ et $X=$ nombre de piles, donc $X\sim\Bin(10,\tfrac12)$.
Calculer $\mathbb{P}(X=6)$.

On lance $7$ fois un dé. Succès : « obtenir un six ».
Alors $p=\tfrac16$, $q=\tfrac56$, et $X\sim\Bin(7,\tfrac16)$.
Calculer $\mathbb{P}(X=2)$ (exactement deux six).

Un QCM comporte $4$ questions, chacune avec $5$ choix dont un seul correct.
À chaque question, la probabilité de répondre juste est $p=\tfrac15$ (au hasard), et on suppose l'indépendance.
Soit $X=$ nombre de réponses correctes : $X\sim\Bin(4,\tfrac15)$.
Calculer $\mathbb{P}(X=3)$.

Un archer touche la cible avec probabilité $p=0.60$ à chaque tir (indépendants).
Combien de flèches doit-il tirer pour que la probabilité de toucher au moins une fois soit strictement supérieure à $95\%$ ?
Soit $X\sim\Bin(n,0.60)$. On veut :

si l'expérience a plus de deux issues, il faut d'abord définir clairement succès/échec (regrouper les issues).

si la probabilité de succès change d'un essai à l'autre, ce n'est (en général) pas une binomiale.

sans remise (tirages dans une urne sans replacer), les essais ne sont pas indépendants $\Rightarrow$ pas binomial (sauf approximation éventuelle hors objectif de base).

ne pas écrire $(1-p)$ à la place de $q$ ou inversement sans cohérence.

$\binom{n}{k}$ : utiliser des arrangements/permutations au lieu des combinaisons.

si $k<0$ ou $k>n$, alors $\mathbb{P}(X=k)=0$.

$\mathbb{P}(X\ge r)=1-\mathbb{P}(X\le r-1)$ (et pas $1-\mathbb{P}(X\le r)$).

attention au signe de $\ln(1-p)$ (négatif si $0<p<1$) $\Rightarrow$ inversion du sens de l'inégalité quand on divise.

Je sais reconnaître une situation binomiale (2 issues, $p$ constant, indépendance).

Je définis correctement $X=$ nombre de succès et j'écris $X\sim\Bin(n,p)$.

Je connais $\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

Je calcule $\binom{n}{k}$ sans me tromper.

Je traite « au plus / au moins » avec des sommes ou un complément.

Je sais utiliser $\mathbb{P}(X\ge 1)=1-(1-p)^n$.

Je connais $\E[X]=np$ et $\Var(X)=np(1-p)$.

Je vérifie que mon $k$ est bien entre $0$ et $n$.

Je repère les pièges : dépendance, sans remise, $p$ non constant.