Loi normale

variable aléatoire dont les valeurs possibles forment un intervalle de $\R$. Sa loi est caractérisée par une densité $f(x)$ vérifiant $f(x) \geq 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$.

loi de densité $f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$. Courbe en cloche, symétrique autour de $\mu$.

$\mu$ : espérance (position du centre). $\sigma$ : écart-type (largeur). $\sigma^2$ : variance.

cas particulier avec $\mu = 0$, $\sigma = 1$. Notée souvent $Z$. Densité $\varphi(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$.

$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$. Pour la normale réduite, notée $\Phi(z) = P(Z \leq z)$.

si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$.

si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ : $E(X) = \mu$, $V(X) = \sigma^2$.

si $X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ et $Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ indépendantes, alors $X + Y \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$.

pour $n$ grand et $p$ pas trop proche de 0 ou 1 (ex. $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$), $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}(np,\, np(1-p))$.

• Standardiser : $z = (x - \mu)/\sigma$.
• Lire $\Phi(z)$ dans la table ou calculatrice.
• Conclure : $P(X \leq x) = \Phi(z)$.

• Standardiser $a$ et $b$.
• Calculer $\Phi((b-\mu)/\sigma) - \Phi((a-\mu)/\sigma)$.
• Attention à la symétrie pour $z < 0$ : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$.

• Chercher $z$ tel que $\Phi(z) = p$ (table inverse ou calculatrice).
• Conclure : $x = \mu + z\sigma$.

• Identifier à combien d'écarts-types de la moyenne se situe l'intervalle.
• Appliquer : 68% pour $\mu \pm \sigma$, 95% pour $\mu \pm 2\sigma$, 99,7% pour $\mu \pm 3\sigma$.

Taille des élèves : $X \sim \mathcal{N}(170, 8^2)$ (cm).

Calculer $P(X \leq 180)$ : $z = (180 - 170)/8 = 1{,}25$. $P(X \leq 180) = \Phi(1{,}25) \approx 0{,}894$.

Calculer $P(160 \leq X \leq 180)$ : $\Phi(1{,}25) - \Phi(-1{,}25) = 2\Phi(1{,}25) - 1 \approx 0{,}789$.

Durée de vie d'un appareil : $X \sim \mathcal{N}(1000, 100^2)$ heures.

Entre 800 et 1200 heures ($\mu \pm 2\sigma$) : environ 95% des appareils.

Entre 900 et 1100 ($\mu \pm \sigma$) : environ 68%.

Score d'un test : $X \sim \mathcal{N}(500, 100^2)$.

Quel score pour être dans les 10% meilleurs ? On cherche $x$ tel que $P(X \geq x) = 0{,}10$, soit $P(X \leq x) = 0{,}90$.

$\Phi(z) = 0{,}90 \Rightarrow z \approx 1{,}282$. Donc $x = 500 + 1{,}282 \cdot 100 \approx 628$.

On lance 400 fois un dé équilibré. $Y$ = nombre de 6. $Y \sim \mathcal{B}(400, 1/6)$.

$np = 66{,}7$ et $n(1-p) = 333{,}3$, approximation valide.

$\mu = 66{,}7$, $\sigma^2 = 400 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6} \approx 55{,}6$, $\sigma \approx 7{,}45$.

$P(Y \leq 75) \approx \Phi((75{,}5 - 66{,}7)/7{,}45) \approx \Phi(1{,}18) \approx 0{,}881$.

la table (ou la règle empirique) concerne $\mathcal{N}(0,1)$. Toujours transformer $X$ en $Z$.

la loi est notée $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Mais la formule de standardisation divise par $\sigma$, pas $\sigma^2$.

pour une variable continue, la probabilité ponctuelle est nulle. Donc $P(X \leq a) = P(X < a)$.

quand on approxime une binomiale par une normale, ajouter ou retrancher $0{,}5$ améliore l'approximation : $P(Y \leq k) \approx \Phi((k + 0{,}5 - \mu)/\sigma)$.

utile quand $z$ est négatif. La table donne souvent $\Phi$ pour $z \geq 0$ uniquement.

$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si indépendance. Les écarts-types ne s'additionnent PAS : $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.

Je connais la densité et les paramètres de la loi normale.

Je sais standardiser : $Z = (X - \mu)/\sigma$.

Je sais lire $\Phi(z)$ dans une table ou avec une calculatrice.

Je connais la règle 68-95-99,7.

Je sais résoudre des problèmes inverses (trouver $x$ connaissant $P$).

Je connais l'approximation normale de la binomiale.

Je connais la stabilité de la loi normale par somme de variables indépendantes.