Diagramme en arbre

l’issue finale est obtenue par une succession de choix (tirages, jours successifs, tests, etc.).

représentation des étapes par des nœuds et des branches portant des probabilités.

situation après certaines étapes (contexte).

résultat possible à l’étape suivante, avec sa probabilité conditionnelle compte tenu du nœud.

suite de branches de la racine jusqu’à une feuille (issue finale).

probabilité de l’issue finale associée à ce chemin (produit des branches).

ensemble d’issues finales (souvent plusieurs feuilles). Sa probabilité est la somme des probabilités des chemins favorables disjoints.

à chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut $\,1$.

les probabilités restent identiques d’une étape à l’autre (si la situation ne change pas).

les probabilités changent car la composition (ou l’état) a changé.

si un chemin correspond à $E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n$, alors

si un événement $F$ est l’union de feuilles disjointes $L_1,\dots ,L_k$,

si $(A_1,\dots ,A_n)$ est une partition (cas exhaustifs et incompatibles),

$A$ et $B$ indépendants $\iff P(B\mid A)=P(B)\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

• Identifier les étapes (ex. 1er tirage, 2e tirage).
• Lister à chaque étape les issues possibles (ex. Rouge/Bleu/Vert).
• Dessiner l’arbre : une branche par issue à partir de chaque nœud.
• Inscrire sur chaque branche la probabilité conditionnelle au nœud (attention aux changements de situation : sans remise, transfert, panne, etc.).
• Vérifier : à chaque nœud, la somme des branches sortantes vaut $1$.

• Repérer le chemin correspondant.
• Multiplier : les probabilités des branches du chemin.

• Traduire l’événement en une liste de chemins favorables.
• Calculer chaque probabilité de chemin (produit).
• Additionner : ces probabilités (les feuilles sont disjointes).

• Construire l’événement le plus simple à calculer (souvent le complément).
• Utiliser $P(E)=1-P(\overline{E})$.

• Avec remise : mêmes probabilités à chaque étape (si la composition reste identique).
• Sans remise : après un résultat, mettre à jour les effectifs (total et catégories) avant d’écrire les probabilités suivantes.

Un nœud représente un contexte (ce que l’on sait après certaines étapes).

Une branche porte une probabilité conditionnelle : « probabilité de cette issue sachant le contexte ».

Une feuille (issue finale) correspond à une intersection d’événements successifs.

• $\text{(chemin)}=\text{(produit)}$,
• $\text{(événement)}=\text{(somme de chemins)}$,
• $\text{(au moins un)}=\text{1 - (aucun)}$.

à chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut $1$.

Schéma : exemple d’arbre à 2 étapes (issues $A/\overline{A}$ puis $B/\overline{B}$).

Par exemple :

Un sac contient $4$ billes rouges (R), $2$ bleues (B) et $3$ vertes (V), soit $9$ billes. On tire successivement sans remise deux billes.

$A$ : « les deux billes sont rouges ».

$B$ : « la première est bleue et la seconde est verte ».

$C$ : « une rouge et une bleue (dans n’importe quel ordre) ».

Deux lampes $A$ et $B$ : $P(\text{panne de }A)=0{,}12$, $P(\text{panne de }B)=0{,}18$. On suppose les pannes indépendantes.

Probabilité que les deux tombent en panne :

Probabilité qu’au moins une fonctionne : c’est le complément de « les deux en panne ».

Probabilité qu’une seule tombe en panne :

Le temps du matin : Pluie (P) $0{,}2$, Nuages (N) $0{,}5$, Ciel bleu (B) $0{,}3$.
M. Keller prend son parapluie $U$ avec $P(U\mid P)=1$, $P(U\mid N)=0{,}6$, $P(U\mid B)=0{,}2$.

On sait : $P(S)=0{,}98$ (survie), $P(C)=0{,}15$ (césarienne), $P(S\mid C)=0{,}96$.
On cherche $P(S\mid \overline{C})$.

oublier de mettre à jour le total et les effectifs après un tirage.

additionner des probabilités de cas non disjoints (risque de compter deux fois).

si les branches sortantes d’un nœud ne font pas $1$, l’arbre est faux.

souvent plus simple par le complément (« aucun »).

« rouge puis bleu » $\neq$ « bleu puis rouge » (chemins différents), mais un événement peut regrouper plusieurs ordres.

ne pas la supposer sans justification (dans les tirages sans remise, ce n’est pas indépendant).

garder des fractions ou suffisamment de décimales en cours de calcul, arrondir seulement à la fin.

Je sais construire un arbre à plusieurs étapes (nœuds, branches, feuilles).

À chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut $1$.

Je sais calculer une probabilité de chemin (produit des branches).

Je sais calculer une probabilité d’événement (somme de chemins disjoints).

Je sais traiter avec remise vs sans remise.

Je sais utiliser $P(\overline{E})=1-P(E)$ pour « au moins un / aucun ».

Je sais appliquer la formule des probabilités totales sur un arbre.

Je vérifie que je n’additionne pas des cas non disjoints.