Principe de multiplication

compter le nombre de possibilités sans tout énumérer.

• Une situation se fait en $k$ étapes successives.
• À l'étape 1 : $n_1$ choix possibles.
• À l'étape 2 : $n_2$ choix possibles pour chaque choix précédent (cela peut dépendre des choix déjà faits).
• …
• À l'étape $k$ : $n_k$ choix possibles (éventuellement dépendants).
• Alors le nombre total de possibilités vaut : $n_1\cdot n_2\cdot \ldots \cdot n_k$.

• étape : / opération : choix successif à effectuer ;
• issue : / possibilité : résultat final (liste de choix) ;
• arbre de dénombrement : schéma qui visualise les choix à chaque étape ;
• modèle des cases (ou « gobelets ») : aligner des cases (une par étape) et compter les façons de les remplir.

le principe de multiplication s'applique quand on construit un résultat en enchaînant des choix (séquentiels).

si $A$ et $B$ sont finis,

si $A_1,\dots ,A_k$ sont finis,

(complément utile en pratique) :

• Décrire clairement le résultat final (ex. : « un code de 4 chiffres », « un classement 1er--2e--3e »).
• Découper en étapes (une case par étape).
• Pour chaque étape $i$, compter $n_i$ = nombre de choix possibles à ce moment-là (en tenant compte des contraintes et des choix déjà faits).
• Multiplier : $N = n_1\cdot n_2\cdots n_k$.
• Vérifier rapidement : ordre ? répétitions autorisées ? zéros initiaux ? contraintes respectées ?

• Commencer par l'étape où les contraintes sont les plus sévères (ex. : « le dernier chiffre doit être 0 ou 5 »).
• Puis compléter les autres cases avec des choix restants.

• Séparer en cas (ex. : dernier chiffre = 0 OU dernier chiffre = 5).
• Dans chaque cas : appliquer le principe de multiplication.
• Additionner les résultats des cas (cas disjoints).

• Arbre : utile pour 2--4 étapes avec peu de branches.
• Cases : utile quand l'arbre serait trop grand.
• Tableau : utile si deux critères se croisent (ex. : type $\times$ couleur).

une possibilité finale correspond à un chemin complet (une suite de choix).

pour chaque choix à l'étape 1, il y a $n_2$ choix possibles à l'étape 2, donc $n_1\times n_2$ couples possibles, etc.

$n_2$ peut changer selon le choix fait avant (ex. : sans répétition, on a moins de choix après).

Schéma : arbre de dénombrement (exemple simple).

on choisit la 1re place (3 choix), puis la 2e (2 choix restants), puis la 3e (1 choix) $\Rightarrow 3\cdot2\cdot1$ chemins.

Une fille a 4 jupes et 6 chemisiers. Combien de tenues « jupe + chemisier » différentes ?

Une classe compte 12 filles et 9 garçons. On choisit un président (P), un vice-président (V), un trésorier (T) et un secrétaire (S), sans cumul.
Contraintes : $T$ doit être une fille, $S$ un garçon.
Méthode : commencer par les contraintes fortes.

• Choisir $T$ (fille) : $12$ possibilités.
• Choisir $S$ (garçon) : $9$ possibilités.
• Il reste $12+9-2=19$ élèves pour $P$ : $19$ possibilités.
• Il reste $18$ élèves pour $V$ : $18$ possibilités. Total :

Combien de nombres entiers à 4 chiffres distincts sont des multiples de 5 ?
Idée : un multiple de 5 finit par 0 ou 5 $\Rightarrow$ séparation en cas disjoints.

Cas 1 : dernier chiffre = 0.

• Milliers : 9 choix (1 à 9).
• Centaines : 8 choix (tous sauf 0 et le chiffre des milliers).
• Dizaines : 7 choix restants. Donc $9\cdot 8\cdot 7=504$.

Cas 2 : dernier chiffre = 5.

• Milliers : 8 choix (1 à 9 sauf 5, car 0 interdit en tête).
• Centaines : 8 choix restants (0 est autorisé ici).
• Dizaines : 7 choix restants.

Donc $8\cdot 8\cdot 7=448$.

Total :

Un jeu propose 13 matchs, et pour chaque match 3 issues possibles (1, X, 2). Combien de pronostics différents ?

si les répétitions sont interdites, le nombre de choix diminue au fil des étapes.

• principe de multiplication compte des suites de choix (souvent l'ordre compte) ;
• si l'ordre ne compte pas, on n'utilise pas ce principe « tel quel » (on ira vers les combinaisons).

pour des nombres à $k$ chiffres, le premier chiffre ne peut pas être 0.

si on sépare en cas, vérifier qu'une possibilité ne peut pas appartenir à deux cas.

définir des étapes claires qui produisent exactement une construction par possibilité.

commencer par les étapes les plus contraintes évite les erreurs et simplifie souvent le calcul.

l'arbre sert à comprendre, mais la méthode des cases est souvent plus efficace.

Je sais découper le problème en étapes (cases).

Je sais compter $n_i$ à chaque étape en tenant compte des choix précédents.

Je multiplie correctement : $N=\prod n_i$.

Je vérifie : répétitions autorisées ? ordre important ? zéro en tête ?

Si nécessaire, je sépare en cas disjoints puis j'additionne.

Je peux représenter la situation par un arbre (petits cas) ou par des cases (grands cas).

Je contrôle la cohérence du résultat (ordre de grandeur, cas simples).