Arrangements

on compte des choix ordonnés (l'ordre compte).

une suite ordonnée de $p$ éléments choisis parmi $n$.

on ne peut pas réutiliser un même objet.

• Notation : $\Awithout{n}{p}$.
• Condition : $0 \le p \le n$.

on peut réutiliser un même objet plusieurs fois.

• Notation : $\Awith{n}{p}$.
• Condition : $p \ge 0$ (pas de limite par $n$).

• ordre important : $AB \neq BA$ ;
• longueur : nombre de places $p$ ;
• alphabet / chiffres / personnes / objets : les $n$ choix possibles à chaque étape.

• Lecture : $p$ choix successifs, le nombre de possibilités diminue à chaque fois.
• Cas particulier : $\Awithout{n}{0}=1$ (une seule suite vide).

• Lecture : $p$ places indépendantes, $n$ choix à chaque place.
• Cas particulier : $\Awith{n}{0}=1$.

si $p=n$ (sans répétition), on retrouve les permutations :

Identifier les objets disponibles ($n$) et le nombre de places ($p$).

Vérifier si l'ordre compte :

• si $AB$ et $BA$ sont différents $\Rightarrow$ ordre important $\Rightarrow$ arrangements (ou permutations).

Vérifier si la répétition est autorisée :

• interdit : tous différents, sans répétition, distincts $\Rightarrow$ sans répétition ;
• autorisé : répétition possible, au plus / au moins à interpréter selon l'énoncé.

• Écrire le produit décroissant :

• ou utiliser la formule factorielle :

• Faire un contrôle rapide : résultat entier, et $\Awithout{n}{p}$ augmente quand $n$ augmente.

• Compter le nombre de choix à une place ($n$).
• Multiplier pour $p$ places indépendantes :

• Dessiner $p$ cases vides.
• Remplir de gauche à droite en indiquant le nombre de choix à chaque case.
• Multiplier les nombres de choix.

• 1ère place : $n$ choix,
• 2e place : $n-1$ choix,
• …
• $p$e place : $n-p+1$ choix.

chaque place a toujours $n$ choix $\Rightarrow$ $n^p$.

arbre de choix pour une suite de longueur $p$.

Arbre de choix par places (longueur $p$)

On veut former des nombres à 2 chiffres distincts : l'ordre compte (56 $\neq$ 65) et la répétition est interdite.
Ici $n=5$ (les 5 chiffres) et $p=2$ (deux places).

Chaque place peut être remplie par 1 ou 2, et la répétition est autorisée. L'ordre compte.
Ici $n=2$ et $p=5$ :

Le mot DIPLOME contient 7 lettres toutes différentes : D, I, P, L, O, M, E.
On forme des "mots" de 4 lettres toutes différentes : ordre important, sans répétition.
Donc $n=7$, $p=4$ :

On choisit 4 personnes parmi 10 et on les place dans un ordre (la place compte) : c'est un arrangement sans répétition.
Ici $n=10$, $p=4$ :

• si l'ordre ne compte pas, ce n'est pas un arrangement (on pense plutôt combinaisons).

• lettres differentes, distincts $\Rightarrow$ sans repetition ;
• on peut repeter, avec remise $\Rightarrow$ avec repetition.

si $p>n$, c'est impossible $\Rightarrow$ résultat $0$.

• si le premier chiffre ne peut pas etre 0, il faut traiter la 1ere place a part.

ces contraintes demandent souvent de découper en cas (sans dépasser le niveau : cas simples, puis somme).

Je sais dire si l'ordre compte (donc arrangement) ou non.

Je repère si la répétition est autorisée ou interdite.

J'identifie correctement $n$ (objets possibles) et $p$ (nombre de places).

Sans répétition : j'utilise $\Awithout{n}{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ (avec $p\le n$).

Avec répétition : j'utilise $\Awith{n}{p}=n^p$.

Je sais appliquer la méthode des places (multiplier les choix).

Je vérifie les cas particuliers : $p=0$, $p=1$, $p=n$.

Je fais attention aux pieges : 0 en premiere position, tous differents.