Permutation, arrangement ou combinaison ?

compter le nombre de configurations possibles (choix, ordre, tirages, codes, placements, …).

• L'ordre compte-t-il ? : (ex. successivement, on aligne, classement $\Rightarrow$ souvent oui)
• Répétition possible ? : (ex. avec remise, répétitions autorisées $\Rightarrow$ oui)

($\Pn$) :

• on utilise tous les $n$ objets distincts ;
• ordre important : , sans répétition (chaque objet une fois).

($\Apn$) :

• on choisit $p$ objets parmi $n$ ($0\le p\le n$) ;
• ordre important : , sans répétition.

(souvent noté $\widetilde{A}_n^{p}$ ou «$p$-listes») :

• on forme une liste de longueur $p$ avec $n$ possibilités à chaque place ;
• ordre important : , répétitions possibles (tirage avec remise).

($\Cnp$, aussi $\binomnp$) :

• on choisit $p$ objets parmi $n$ ($0\le p\le n$) ;
• ordre non important : , sans répétition (tirage simultané typiquement).

(objets non tous distincts, ex. anagrammes) :

• $n$ lettres au total, avec $r_1,r_2,\dots ,r_k$ répétitions de lettres identiques ;
• ordre important : mais indistinguabilité $\Rightarrow$ correction par division.

(plus rare au niveau commun, mais utile) :

• choisir $p$ objets parmi $n$ sans ordre, avec répétitions possibles (multiensembles).

$n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1$ pour $n\ge 1$, et $0!=1$.

(anagrammes) :

(si nécessaire) :

• successivement, on aligne, code, mot de passe, classement $\Rightarrow$ ordre important.
• simultanément, choisir un groupe, comité, main de cartes $\Rightarrow$ ordre non important.
• avec remise, répétitions autorisées $\Rightarrow$ répétitions possibles.
• sans remise, objets distincts une seule fois $\Rightarrow$ pas de répétition.

• $n$ = nombre d'objets disponibles (types possibles).
• $p$ = nombre d'objets choisis / longueur de la liste / nombre de places.

• sans répétition : $\Apn$ (et si $p=n$ alors $\Pn$).
• avec répétition : $n^p$.

• sans répétition : $\Cnp$.
• avec répétition : $\binom{n+p-1}{p}$ (si le cours l'utilise).

• Découper en étapes : (principe multiplicatif) : « je choisis d'abord … puis … ».
• Découper en cas : cas 1 / cas 2 / …, puis additionner.
• Complément : (souvent simple) : total $-$ cas interdits.

• Résultat entier, positif.
• Si on impose plus de contraintes, le nombre doit diminuer.
• Comparer à un ordre de grandeur (ex. $n^p$ est souvent « grand »).

• $\Apn$ et $\Pn$ comptent des listes (séquences ordonnées).
• $\Cnp$ compte des groupes (sous-ensembles) : $\{a,b\}=\{b,a\}$.

• avec répétition : on peut reprendre le même objet (ex. tirage avec remise, code).
• sans répétition : chaque objet au plus une fois (ex. tirage sans remise).

en présence de contraintes « non standards », on utilise souvent des étapes (produit) et des cas (somme) plutôt qu'une formule unique.

Dans une course avec $12$ chevaux :

• Les 3 premiers dans l'ordre : on choisit $p=3$ parmi $n=12$, ordre important, sans répétition.

• Un trio de gagnants (dans le désordre) : ordre non important, sans répétition.

On dispose de $6$ jetons numérotés $1,2,3,4,5,6$.

• On tire successivement $4$ jetons sans remise et on les aligne : ordre important, sans répétition.

• On tire simultanément $4$ jetons : ordre non important, sans répétition.

• On tire successivement $4$ jetons avec remise (répétitions possibles) : ordre important, avec répétition.

On tire simultanément $5$ jetons parmi $\{1,2,3,4,5,6\}$. Combien de tirages contiennent exactement $2$ chiffres pairs et $3$ impairs ?

• Pairs : $\{2,4,6\}$ (3 jetons), Impairs : $\{1,3,5\}$ (3 jetons).
• On choisit sans ordre : $C_3^2$ façons de choisir $2$ pairs et $C_3^3$ façons de choisir $3$ impairs.

Combien d'anagrammes distinctes peut-on former avec le mot BANANE ?

• Il y a $6$ lettres au total.
• Répétitions : $A$ apparaît $2$ fois, $N$ apparaît $2$ fois, les autres lettres $B,E$ une fois.
• Nombre d'anagrammes :

• successivement $\Rightarrow$ souvent ordre important;
• simultanément $\Rightarrow$ souvent ordre non important.

• avec remise $\Rightarrow$ répétitions possibles $\Rightarrow$ souvent $n^p$;
• sans remise $\Rightarrow$ pas de répétition $\Rightarrow$ $\Apn$ ou $\Cnp$.

• même groupe mais ordre différent $\Rightarrow$ $\Apn$ compte plus que $\Cnp$;
• lien utile : $\Apn = p!\Cnp$.

• $\Apn$ et $\Cnp$ imposent $p\le n$ (sans répétition).
• Si $p>n$ et sans répétition $\Rightarrow$ impossible (0 façon).

• Si certaines « pièces » sont indistinguables (ex. lettres répétées), $n!$ surestime : utiliser $\dfrac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$.

• $0!=1$ (important pour $C_n^0$, $C_n^n$).
• $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ (symétrie utile).

Ai-je identifié si l'ordre compte ?

Y a-t-il remise / répétitions autorisées ?

Ai-je correctement défini $n$ (disponibles) et $p$ (choisis/places) ?

Cas standard : ai-je choisi parmi $\Apn$, $\Cnp$, $n^p$, $\Pn$ ?

S'il y a une contrainte : ai-je découpé en étapes ou en cas ?

Ai-je envisagé un complément (total $-$ interdit) si c'est plus simple ?

Ai-je vérifié $p\le n$ quand c'est sans répétition ?

Objets identiques : ai-je pensé à la formule $\dfrac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$ ?

Contrôle : résultat entier, cohérent (plus de contraintes $\Rightarrow$ moins de cas).