Combinaisons

choix de $p$ objets distincts parmi $n$ objets, sans tenir compte de l'ordre.

Notation : $\displaystyle C_n^p$ ou $\displaystyle \Comb{n}{p}$, avec $0 \le p \le n$.

$\{1,2\}=\{2,1\}$ (même groupe).

on ne peut pas choisir deux fois le même objet.

Vocabulaire : choisir / former un groupe / constituer un comité / une main de carte $\Rightarrow$ souvent une combinaison.

(pour $0\le p \le n$) :

(choix ordonné) :

(utile pour calculer rapidement) :

(interprétation) :

• Lire l'énoncé : former un groupe, choisir $p$ personnes, tirer $p$ cartes $\Rightarrow$ souvent sans ordre.
• Vérifier : les objets sont-ils distincts ? Y a-t-il répétition ? (Ici : non.)
• Conclure : utiliser $\Comb{n}{p}$ si c'est un choix non ordonné de $p$ parmi $n$.

• Identifier $n$ (total d'objets) et $p$ (taille du groupe).
• Appliquer $\displaystyle \Comb{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.
• Simplifier avant de calculer (réduire les factoriels).

• Compter le total de choix possibles (souvent $\Comb{n}{p}$).
• Compter les choix favorables en imposant la contrainte (fixer certains éléments, puis compléter).
• Si plusieurs cas : additionner des cas disjoints (sans recouvrement).

• Calculer le total $T$.
• Calculer le cas contraire $C$ (ex. « aucun »).
• Répondre : $T-C$.

• Séparer le choix en sous-choix indépendants (ex. choisir $k$ parmi un groupe A et $p-k$ parmi un groupe B).
• Multiplier les nombres de possibilités : $\Comb{n_A}{k}\cdot \Comb{n_B}{p-k}$.
• Additionner si plusieurs valeurs de $k$ sont possibles (cas disjoints).

• $\Comb{n}{p}$ = nombre de groupes de taille $p$ formés à partir de $n$ objets distincts.
• Symétrie $\Comb{n}{p}=\Comb{n}{n-p}$ : choisir $p$ éléments revient à choisir les $n-p$ éléments à ne pas prendre.

• Les coefficients $\Comb{n}{p}$ apparaissent dans le triangle, avec la règle :

• Les bords valent $1$ : $\Comb{n}{0}=\Comb{n}{n}=1$.

• Dans $(a+b)^n$, le coefficient de $a^{n-p}b^p$ est $\Comb{n}{p}$.
• Interprétation : choisir quelles positions (parmi $n$) recevront le $b$ (il y en a $p$).

[Voir graphique dans la fiche complète]

On observe la symétrie autour de $p=5$ (car $\Comb{10}{p}=\Comb{10}{10-p}$).

Les valeurs augmentent jusqu'au milieu puis diminuent : la « bosse » est typique des coefficients binomiaux.

Énoncé : De combien de manières peut-on former un comité de $3$ personnes à partir de $24$ élèves ?
Solution : L'ordre ne compte pas (un comité est un groupe). On calcule :

Énoncé : Combien de mains différentes de $6$ cartes peut-on obtenir à partir d'un jeu de $36$ cartes ?
Solution : Une main est un ensemble de $6$ cartes, sans ordre :

Énoncé : Combien de mains de $6$ cartes contiennent les 4 valets ?
Solution : On impose les 4 valets (ils sont fixés). Il reste à choisir $2$ cartes parmi les $36-4=32$ restantes :

Énoncé : Combien de mains de $6$ cartes contiennent au moins un valet ?
Solution :

• Total : $T=\Comb{36}{6}$.
• Cas contraire « aucun valet » : on choisit $6$ cartes parmi les $32$ cartes non valets, donc $C=\Comb{32}{6}$.
• Donc « au moins un valet » :

• Équipe, comité, main $\Rightarrow$ combinaison (ordre non important).
• Classement, code, rang $\Rightarrow$ arrangement/permutation (ordre important).

$\Comb{n}{p}$ n'a de sens que pour $0\le p\le n$ (sinon : $0$ possibilité dans un contexte réel).

calculer $36!$ est impossible directement ; il faut simplifier :

penser au complément (souvent plus simple que de faire une somme de cas).

si on additionne plusieurs cas, vérifier qu'ils sont disjoints (pas de recouvrement).

• $\Comb{n}{0}=1$ : il y a une façon de choisir rien (le groupe vide).
• $\Comb{n}{n}=1$ : il y a une façon de tout choisir.
• Symétrie utile : choisir $p$ peut être plus simple via $n-p$.

Je sais reconnaître un choix sans ordre (combinaison).

Je sais écrire et utiliser $\displaystyle \Comb{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Je connais $\Comb{n}{0}=1$, $\Comb{n}{n}=1$ et la symétrie $\Comb{n}{p}=\Comb{n}{n-p}$.

Je simplifie les factoriels avant de calculer.

Je sais traiter une contrainte en fixant des éléments puis en complétant.

Je sais utiliser le complément pour « au moins un ».

Je vérifie que mes cas sont disjoints si j'additionne.

Je sais relier $\Comb{n}{p}$ au triangle de Pascal / au binôme $(a+b)^n$.

Le résultat est cohérent avec la complexité du problème.