Primitives et intégrales

une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si

si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x)+C$ (avec $C\in\mathbb{R}$) est aussi une primitive. Deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

l'ensemble des primitives de $f$ se note

pour $f$ continue sur $[a,b]$,

$a,b$ sont les bornes, $x$ est la variable d'intégration, et $dx$ indique « on intègre par rapport à $x$ ».

si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F$ est une primitive de $f$, alors

• Puissances ($n\neq -1$) :

• Cas $n=-1$ :

• Exponentielle :

• Trigonométriques :

• Inverse de $1+x^2$ :

• Inverse de $\sqrt{1-x^2}$ (sur $(-1,1)$) :

• Puissance d'une fonction (si $n\neq -1$) :

• Exponentielle composée :

• Logarithme :

• Trigonométriques composées :

• Simplifier l'expression (développer/factoriser si utile).
• Utiliser la linéarité pour séparer en somme de termes simples.
• Appliquer une primitive usuelle (table).
• Si un terme ressemble à $f'(x)\,g(f(x))$, utiliser un patron de composée :

• Ajouter toujours la constante $C$ (intégrale indéfinie).

• Trouver une primitive $F$ de $f$.
• Calculer $F(b)-F(a)$.
• Ne pas mettre de constante $C$ (elle s'annule dans la différence).

• Faire un croquis et déterminer où $f(x)\ge 0$ ou $f(x)\le 0$.
• Trouver les points où $f(x)=0$ (intersections avec l'axe $Ox$).
• Découper l'intervalle en morceaux où le signe est constant.
• Aire géométrique :

• Résoudre $f(x)=g(x)$ pour trouver les bornes (intersections).
• Identifier la courbe du haut (celle qui a les plus grandes valeurs).
• Calculer

• Écrire $F(x)=\text{(primitive)}+C$.
• Remplacer $x=x_0$ et $F(x_0)=y_0$ pour trouver $C$.

on approxime l'aire sous la courbe sur $[a,b]$ par une somme de rectangles ; quand le nombre de rectangles augmente, l'approximation devient meilleure.

$\int_a^b f(x)\,dx$ additionne les aires au-dessus de l'axe et soustrait celles en dessous.

intégrer revient (souvent) à « remonter » une dérivation, et le théorème fondamental relie l'intégrale définie à une primitive.

si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe $c\in[a,b]$ tel que

Exemple de lecture : $f(x)=x^2-2x$ change de signe sur $[0,4]$ (zéros en $0$ et $2$). Pour l'aire géométrique, on découpe l'intervalle.

$\frac{f'}{f}$

Calculer l'aire du domaine borné par $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.

Solution. On cherche les intersections :

dans une intégrale indéfinie : toute primitive s'écrit $F(x)+C$.

si $f$ est négative, $\int_a^b f(x)\,dx<0$ mais l'aire géométrique est positive (prendre la valeur absolue après découpage).

la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ne marche pas pour $n=-1$ (il faut $\ln|x|$).

toujours $\ln|x|$ ou $\ln|f(x)|$ (attention au domaine).

$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.

utile pour découper l'intervalle, mais attention au sens des bornes.

il faut haut $-$ bas et vérifier sur l'intervalle (un croquis évite les erreurs).

$\int_a^b f(x)\,dx$ ne dépend pas du nom de la variable (on peut écrire $\int_a^b f(t)\,dt$).

le théorème fondamental est appliqué lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$ (ou au moins intégrable et avec primitive sur l'intervalle considéré).

Je sais définir primitive et intégrale indéfinie ($F(x)+C$).

Je connais les primitives usuelles : $x^n$, $\frac1x$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac1{1+x^2}$.

Je sais utiliser la linéarité pour simplifier une intégrale.

Je reconnais les patrons : $\frac{f'}{f}$, $e^{f}f'$, $\cos(f)f'$, $\sin(f)f'$, $(f)^n f'$.

Je calcule une intégrale définie via $F(b)-F(a)$.

Je sais changer l'ordre des bornes et utiliser Chasles.

Je distingue aire algébrique et aire géométrique (découpage + valeurs absolues).

Je sais calculer une aire entre deux courbes (intersections, haut$-$bas).

Je pense à vérifier le signe d'une fonction sur un intervalle (croquis).

Je sais déterminer une constante $C$ avec une condition du type $F(x_0)=y_0$.