Équations différentielles — 1er ordre

équation reliant une fonction inconnue $y(x)$ à ses dérivées. L'ordre est la plus haute dérivée apparaissant.

fonction dérivable vérifiant l'équation sur un intervalle $I$. L'ensemble des solutions s'appelle solution générale.

donnée supplémentaire $y(x_0) = y_0$ qui permet de déterminer une unique solution parmi les solutions générales.

équation de la forme $y' + a(x) y = b(x)$, où $a, b$ sont des fonctions continues.

cas particulier avec $b(x) = 0$ : $y' + a(x) y = 0$.

équation de la forme $y' = f(x) g(y)$. Se résout par séparation : $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\, dx$, puis intégration.

solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière :

on cherche $y_p = C(x) \cdot y_{\text{hom}}(x)$. En remplaçant dans l'équation, on trouve $C(x)$ par intégration.

pour $y' + ay = b(x)$ avec $a$ constant :

$\dfrac{dy}{dx} = f(x) g(y) \Rightarrow \displaystyle \int \dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C$.

$y' = ky$ (avec $k$ constant) a pour solution $y(x) = y_0 e^{kx}$. $k > 0$ : croissance ; $k < 0$ : décroissance.

• Solution : $y = C e^{-ax}$.
• Si condition initiale $y(x_0) = y_0$ : déterminer $C$.

• Résoudre l'homogène : $y_h = C e^{-ax}$.
• Chercher une solution particulière $y_p$ : selon la forme de $b(x)$.

- Si $b$ polynôme de degré $n$ : essayer $y_p$ polynôme de degré $n$.
- Si $b(x) = A e^{rx}$ avec $r \neq -a$ : essayer $y_p = B e^{rx}$.
- Si $r = -a$ : essayer $y_p = B x e^{rx}$.

• Solution générale : $y = y_h + y_p$.
• Appliquer la condition initiale si donnée.

• Solution de l'homogène : $y_h = C e^{-ax}$.
• Chercher solution sous la forme $y = C(x) e^{-ax}$.
• Remplacer dans l'équation : $C'(x) e^{-ax} = b(x)$, donc $C'(x) = b(x) e^{ax}$.
• Intégrer pour obtenir $C(x)$, puis conclure.

• Écrire $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\, dx$.
• Intégrer les deux côtés.
• Résoudre en $y$ si possible.
• Appliquer la condition initiale.

Résoudre $y' + 3y = 0$, $y(0) = 2$.

Solution : $y(x) = C e^{-3x}$. Condition initiale : $y(0) = C = 2$.

Solution finale : $y(x) = 2 e^{-3x}$.

Résoudre $y' + 2y = 4x$.

Homogène : $y_h = C e^{-2x}$. Solution particulière de la forme $y_p = ax + b$ : $y_p' = a$, donc $a + 2(ax + b) = 4x$, ce qui donne $2a = 4$ et $a + 2b = 0$, soit $a = 2$, $b = -1$.

Solution : $y = C e^{-2x} + 2x - 1$.

Résoudre $y' + y = e^{2x}$.

Homogène : $y_h = C e^{-x}$. $y_p = A e^{2x}$ : $2A e^{2x} + A e^{2x} = e^{2x} \Rightarrow 3A = 1$, $A = 1/3$.

Solution : $y = C e^{-x} + \dfrac{1}{3} e^{2x}$.

Loi de Newton : $T'(t) = -k(T - T_{\text{amb}})$.

$\dfrac{dT}{T - T_{\text{amb}}} = -k\, dt \Rightarrow \ln|T - T_{\text{amb}}| = -kt + C \Rightarrow T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) e^{-kt}$.

$y' + ay = 0$ donne $y = C e^{-ax}$ (signe négatif). Attention au signe.

si le second membre contient $e^{rx}$ avec $r$ racine de l'homogène, essayer $y_p = Bx e^{rx}$ au lieu de $B e^{rx}$.

ne pas oublier de sommer. La constante d'intégration est dans $y_h$.

on suppose $g(y) \neq 0$. Traiter séparément le cas $g(y) = 0$ (solutions constantes $y = y_0$).

appliquer la condition $y(x_0) = y_0$ sur la solution GÉNÉRALE, pas seulement sur la solution particulière.

la théorie s'applique sur un intervalle où $a, b$ sont continues. Attention aux points singuliers.

Je sais résoudre $y' + ay = 0$ (homogène à coeff constant).

Je sais chercher une solution particulière par forme adaptée (polynôme, exponentielle).

Je connais la méthode de variation de la constante.

Je sais résoudre une équation à variables séparables.

Je sais appliquer une condition initiale pour déterminer la constante.

Je connais l'application aux modèles de croissance / décroissance exponentielle.