Primitives et intégrales

une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si

si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x)+C$ (avec $C\in\mathbb{R}$) est aussi une primitive. Deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

l'ensemble des primitives de $f$ se note

pour $f$ continue sur $[a,b]$,

$a,b$ sont les bornes, $x$ est la variable d'intégration, et $dx$ indique « on intègre par rapport à $x$ ».

si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F$ est une primitive de $f$, alors

une partition $P$ de $[a,b]$ est une suite

si $f$ est bornée sur $[a,b]$, on note sur chaque sous-intervalle

en choisissant un point $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$,

une fonction $f$ est intégrable sur $[a,b]$ si, lorsque $\|P\|\to 0$, les sommes de Riemann $R(P,\xi)$ tendent vers une même limite (indépendante du choix des $\xi_i$). Cette limite est $\int_a^b f(x)\,dx$.

toute fonction continue sur $[a,b]$ est intégrable sur $[a,b]$.

on étend la définition de l'intégrale définie par des limites :

• Puissances ($n\neq -1$) :

• Cas $n=-1$ :

• Exponentielle :

• Trigonométriques :

• Inverse de $1+x^2$ :

• Inverse de $\sqrt{1-x^2}$ (sur $(-1,1)$) :

• Puissance d'une fonction (si $n\neq -1$) :

• Exponentielle composée :

• Logarithme :

• Trigonométriques composées :

• Si $f(x)\ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\ge 0$.
• Si $f(x)\le g(x)$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx$.
• Encadrement : si $m\le f(x)\le M$ sur $[a,b]$, alors

• Si $f$ est paire ($f(-x)=f(x)$), alors $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx$.
• Si $f$ est impaire ($f(-x)=-f(x)$), alors $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$.

• Si $\deg(\text{num})\ge \deg(\text{den})$ : faire la division euclidienne d'abord.
• Si le dénominateur factorise : écrire la fraction comme somme de termes du type

• Simplifier l'expression (développer/factoriser si utile).
• Utiliser la linéarité pour séparer en somme de termes simples.
• Appliquer une primitive usuelle (table).
• Si un terme ressemble à $f'(x)\,g(f(x))$, utiliser un patron de composée :

• Ajouter toujours la constante $C$ (intégrale indéfinie).

• Trouver une primitive $F$ de $f$.
• Calculer $F(b)-F(a)$.
• Ne pas mettre de constante $C$ (elle s'annule dans la différence).

• Faire un croquis et déterminer où $f(x)\ge 0$ ou $f(x)\le 0$.
• Trouver les points où $f(x)=0$ (intersections avec l'axe $Ox$).
• Découper l'intervalle en morceaux où le signe est constant.
• Aire géométrique :

• Résoudre $f(x)=g(x)$ pour trouver les bornes (intersections).
• Identifier la courbe du haut (celle qui a les plus grandes valeurs).
• Calculer

• Écrire $F(x)=\text{(primitive)}+C$.
• Remplacer $x=x_0$ et $F(x_0)=y_0$ pour trouver $C$.

• Repérer une composition $f(g(x))$ et la présence de $g'(x)$ (au moins « à un facteur près »).
• Poser $u=g(x)$ puis calculer $du=g'(x)\,dx$.
• Réécrire toute l'intégrale en fonction de $u$ (plus de $x$).
• Intégrer en $u$, puis revenir à $x$ (si intégrale indéfinie).
• En définie : changer aussi les bornes $u(a)=g(a)$ et $u(b)=g(b)$.

• Identifier un produit : $u(x)\,v'(x)$.
• Choisir $u$ (à dériver) et $v'$ (à intégrer), puis utiliser

• Choix de $u$ (heuristique) : prendre $u$ qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln$, arctan, etc.).
• Attention au terme $u\,v$ et aux bornes en intégrale définie.

• Si nécessaire : division euclidienne pour rendre la fraction propre.
• Factoriser le dénominateur (sur $\mathbb{R}$ : facteurs linéaires et quadratiques irréductibles).
• Écrire la décomposition en éléments simples.
• Déterminer les constantes (méthode des coefficients, valeurs particulières, etc.).
• Intégrer terme à terme (logs, arctan, puissances).

• Identifier la cause : borne infinie ou discontinuité (verticale) à une borne ou à l'intérieur.
• Remplacer par une (ou deux) limites d'intégrales.
• Calculer l'intégrale sur un intervalle fini, puis passer à la limite.
• Conclure : convergente si la limite est finie, sinon divergente.

on approxime l'aire sous la courbe sur $[a,b]$ par une somme de rectangles ; quand le nombre de rectangles augmente, l'approximation devient meilleure.

$\int_a^b f(x)\,dx$ additionne les aires au-dessus de l'axe et soustrait celles en dessous.

intégrer revient (souvent) à « remonter » une dérivation, et le théorème fondamental relie l'intégrale définie à une primitive.

si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe $c\in[a,b]$ tel que

en découpant $[a,b]$,

si $f$ est continue et $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$, alors

Exemple de lecture : $f(x)=x^2-2x$ change de signe sur $[0,4]$ (zéros en $0$ et $2$). Pour l'aire géométrique, on découpe l'intervalle.

Quand le découpage s'affine, la somme des aires des rectangles se rapproche de l'intégrale.

Complément : intégration par parties

Calculer $\displaystyle \int x e^x\,dx$.

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$. Alors $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$.

$\frac{f'}{f}$

Complément : éléments simples

Calculer $\displaystyle \int \frac{x+5}{x^2+x-2}\,dx$.

On factorise $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ et on cherche

Complément : intégrale impropre (borne infinie)

Calculer $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{(x+2)^2}\,dx$.

On écrit

Calculer l'aire du domaine borné par $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.

Solution. On cherche les intersections :

Complément : substitution (changement de bornes)

Calculer $\displaystyle \int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$.

On pose $u=x^2$ donc $du=2x\,dx$. Quand $x=0$, $u=0$ ; quand $x=1$, $u=1$ :

dans une intégrale indéfinie : toute primitive s'écrit $F(x)+C$.

si $f$ est négative, $\int_a^b f(x)\,dx<0$ mais l'aire géométrique est positive (prendre la valeur absolue après découpage).

la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ne marche pas pour $n=-1$ (il faut $\ln|x|$).

toujours $\ln|x|$ ou $\ln|f(x)|$ (attention au domaine).

$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.

utile pour découper l'intervalle, mais attention au sens des bornes.

il faut haut $-$ bas et vérifier sur l'intervalle (un croquis évite les erreurs).

$\int_a^b f(x)\,dx$ ne dépend pas du nom de la variable (on peut écrire $\int_a^b f(t)\,dt$).

le théorème fondamental est appliqué lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$ (ou au moins intégrable et avec primitive sur l'intervalle considéré).

il faut tout transformer (y compris $dx$) et ne pas laisser de $x$ quand on intègre en $u$.

on change les bornes ou bien on revient à $x$ avant d'évaluer, mais il faut être cohérent (ne pas mélanger).

• Mauvais choix de $u$ : si dériver $u$ complique, l'intégrale peut empirer.
• Oublier le terme $u\,v$ ou son évaluation $\bigl[u\,v\bigr]_a^b$ en intégrale définie.

• Oublier la division euclidienne si la fraction n'est pas propre.
• Factorisation incomplète du dénominateur (facteurs répétés, quadratique irréductible).
• $\ln|x-a|$ : valeur absolue indispensable.

• Toujours : remplacer par une limite : une primitive ne suffit pas tant que la limite n'est pas traitée.
• Si discontinuité en $c$ : il faut deux limites (gauche et droite). Si l'une diverge, l'intégrale diverge.
• Attention aux symétries : $\int_{-\infty}^{+\infty} f$ n'est pas « automatiquement » $0$ pour une fonction impaire (il faut convergence des deux côtés).

pair/impaire seulement sur un intervalle symétrique $[-a,a]$ ; sinon la simplification ne s'applique pas.

Je sais définir primitive et intégrale indéfinie ($F(x)+C$).

Je connais les primitives usuelles : $x^n$, $\frac1x$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac1{1+x^2}$.

Je sais utiliser la linéarité pour simplifier une intégrale.

Je reconnais les patrons : $\frac{f'}{f}$, $e^{f}f'$, $\cos(f)f'$, $\sin(f)f'$, $(f)^n f'$.

Je calcule une intégrale définie via $F(b)-F(a)$.

Je sais changer l'ordre des bornes et utiliser Chasles.

Je distingue aire algébrique et aire géométrique (découpage + valeurs absolues).

Je sais calculer une aire entre deux courbes (intersections, haut$-$bas).

Je pense à vérifier le signe d'une fonction sur un intervalle (croquis).

Je sais déterminer une constante $C$ avec une condition du type $F(x_0)=y_0$.

Je sais utiliser une substitution $u=g(x)$ (et changer les bornes en définie).

Je sais appliquer l'intégration par parties $\int u v' = uv-\int u'v$.

Je sais traiter une fraction rationnelle : division euclidienne puis éléments simples.

Je sais reconnaître et calculer une intégrale impropre (borne infinie / discontinuité) via des limites.

Je sais exploiter les symétries (pair/impaire) sur $[-a,a]$.

Je sais encadrer une intégrale avec $m(b-a)\le \int_a^b f \le M(b-a)$ si $m\le f\le M$.