Suites arithmétiques et géométriques

fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou un sous-ensemble) qui associe à chaque entier $n$ un nombre réel $u_n$. Notée $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

$u_n$ est le $n$-ième terme. $u_0$ ou $u_1$ est le premier terme selon la convention.

suite telle que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$, où $r$ est la raison (constante). Chaque terme s'obtient en ajoutant $r$ au précédent.

suite telle que $u_{n+1}=q\cdot u_n$ pour tout $n$, où $q$ est la raison (constante, $q\ne 0$). Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $q$.

croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$. Décroissante si $u_{n+1}\le u_n$.

nombre $\ell$ vers lequel $u_n$ se rapproche quand $n\to +\infty$. Notée ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\ell$.

Arithmétique : $\lim u_n=+\infty$ si $r>0$, $-\infty$ si $r<0$, constante si $r=0$.
Géométrique : $\lim u_n=0$ si $|q|<1$ ; $+\infty$ ou oscille si $|q|>1$.

Si $|q|<1$ : $\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_0{q}^n=\frac{u_0}{1-q}$.

• Arithmétique : la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante.
• Géométrique : le rapport $u_{n+1}/u_n$ est constant (pour $u_n\ne 0$).
• Calculer 2-3 différences / rapports pour vérifier.

• Utiliser directement le terme général : $u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_0{q}^n$.
• Ne pas itérer la récurrence (trop long).
• Attention à la convention d'indexation (0 ou 1).

• Identifier le premier terme, le dernier terme, le nombre de termes.
• Appliquer la formule adéquate.
• Pour géométrique avec $q\ne 1$, utiliser $S=u_0\cdot \frac{1-q^N}{1-q}$ (somme des termes de rang $0$ à $N-1$).

• Si $|q|<1$ : limite = 0.
• Si $|q|=1$ : constante ou oscille.
• Si $|q|>1$ : diverge (vers $\pm \infty$ ou oscille).

$u_0=5$, $r=3$. Alors $u_{10}=5+10\cdot 3=35$.

Somme des 11 premiers termes : $S_{10}=\frac{11\cdot (5+35)}{2}=\frac{11\cdot 40}{2}=220$.

$u_0=2$, $q=3$. Alors $u_5=2\cdot 3^5=2\cdot 243=486$.

Somme des 6 premiers termes : $S_5=2\cdot \frac{1-3^6}{1-3}=2\cdot \frac{1-729}{-2}=728$.

Un capital de 1000 CHF est placé à 4% d'intérêts composés annuels. Après $n$ années, le capital est $C_n=1000\cdot 1,04^n$.

Après 10 ans : $C_{10}=1000\cdot 1,04^{10}\approx 1480,24$ CHF.

$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{1-1/2}=2$.

si la suite commence à $u_1$, le terme général est $u_n=u_1+(n-1)r$, pas $u_1+nr$.

de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, pas $n$.

la formule de somme ne s'applique pas. Dans ce cas, tous les termes sont égaux à $u_0$.

les termes alternent en signe. Attention aux calculs.

la formule $\frac{u_0}{1-q}$ ne vaut QUE si $|q|<1$. Sinon la somme diverge.

« 2, 4, 6, 8 » est arithmétique (différence constante 2). « 2, 4, 8, 16 » est géométrique (rapport constant 2).

Je sais reconnaître une suite arithmétique (différence constante) ou géométrique (rapport constant).

Je connais les formules du terme général : $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_0{q}^n$.

Je connais la formule de somme arithmétique : $(n+1)(u_0+u_n)/2$.

Je connais la formule de somme géométrique : $u_0(1-q^{n+1})/(1-q)$.

Je sais que la limite d'une géométrique de raison $|q|<1$ est $0$.

Je connais la somme infinie $\sum u_0{q}^n=u_0/(1-q)$ pour $|q|<1$.

Je sais appliquer ces suites aux intérêts composés et à la croissance exponentielle.