Suite de nombres réels

une suite de nombres réels est une fonction $u:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, $n\mapsto u_n$.

la suite se note $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ (ou simplement $(u_n)$). Le terme général est $u_n$.

selon le contexte, on commence à $n=0$ (suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$) ou à $n=1$ (suite $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$).

$u_n=f(n)$ (on calcule directement n'importe quel terme).

un terme initial (ex. $u_0$ ou $u_1$) et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ (parfois dépendant de $n$).

les signes alternent. Souvent $u_n=(-1{)}^n{a}_n$ ou $u_n=(-1{)}^{n+1}{a}_n$ avec $a_n\ge 0$.

• croissante : $\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}\ge u_n$ ; strictement croissante : $u_{n+1}>u_n$,
• décroissante : $\forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}\le u_n$ ; strictement décroissante : $u_{n+1}<u_n$,
• monotone : croissante ou décroissante (éventuellement à partir d'un certain rang $n\ge n_0$).

• majorée : $\exists M\in \mathbb{R},\forall n,u_n\le M$ (un majorant),
• minorée : $\exists m\in \mathbb{R},\forall n,u_n\ge m$ (un minorant),
• bornée : majorée et minorée.

• $\sup (u_n)$ : plus petit des majorants ; $\inf (u_n)$ : plus grand des minorants (admis : existence dans $\mathbb{R}$).

$(u_n)$ converge vers $A\in \mathbb{R}$ si les termes deviennent arbitrairement proches de $A$ lorsque $n$ est grand.

les termes dépassent toute borne (vers $+\infty$) ou deviennent plus petits que tout réel (vers $-\infty$).

si $\lim u_n=A$ et $\lim u_n=B$, alors $A=B$.

si $\lim u_n=A$, alors $\exists M>0$ tel que $|u_n|\le M$ pour tout $n$.

si une suite n'est pas bornée, alors elle n'est pas convergente (diverge).

(admis) :

• si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors $(u_n)$ converge,
• si $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors $(u_n)$ converge.

(sandwich) :

(si $\lim u_n=u$, $\lim v_n=v$, $\lambda \in \mathbb{R}$) :

• remplacer $n$ par $0,1,2,\dots$ (ou $1,2,3,\dots$) dans $u_n=f(n)$,
• organiser les résultats dans un petit tableau $(n,u_n)$,
• (révision) vérifier l'ordre de grandeur et le signe.

• écrire le terme initial ($u_0$ ou $u_1$),
• appliquer la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pas à pas,
• si possible, repérer un motif (géométrique, arithmétique, alternance, stabilisation).

(méthode standard) :

• calculer $u_{n+1}-u_n$,
• étudier son signe :

• si nécessaire, conclure à partir d'un rang $n\ge n_0$.

chercher une inégalité simple $m\le u_n\le M$ (avec $m,M$ constants),

utiliser des faits connus : $-1\le \sin n\le 1$, $-1\le \cos n\le 1$, $|(-1{)}^n|=1$,

pour une suite par récurrence, faire une induction :

• (i) initialiser : vérifier la borne au rang de départ,
• (ii) hérédité : supposer la borne vraie au rang $n$ et la prouver au rang $n+1$.

(renforcé) :

• partir de $|u_n-A|<\epsilon$,
• transformer l'inégalité pour obtenir une condition du type $n>\text{(expression en }\epsilon )$,
• choisir $N$ comme un entier satisfaisant cette condition, puis conclure.

• formes rationnelles : diviser numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $n$,
• comparaison : encadrer $u_n$ entre deux suites à limites connues,
• monotone + bornée : montrer monotonie puis borne, conclure ``converge'',
• alternée : étudier $|u_n|$ et conclure par gendarmes si $|u_n|\to 0$.

• montrer non bornée (ex. $u_n\ge n$, ou $u_n\to +\infty$),
• ou exhiber une oscillation persistante (ex. $u_n=(-1{)}^n$ : bornée mais non convergente),
• (renforcé) trouver deux sous-suites de limites différentes (si vu en cours).

on place les points $(n,u_n)$ dans un repère. Une suite n'est pas une courbe continue : ce sont des points discrets.

• croissante : les points montent globalement quand $n$ augmente,
• décroissante : les points descendent globalement,
• ``à partir d'un rang'' : le comportement est monotone dès $n\ge n_0$.

à partir d'un certain rang, tous les points sont dans la bande $[A-\epsilon ,A+\epsilon ]$.

pour toute ``barre'' horizontale $y=A$, les points finissent tous au-dessus (vers $+\infty$) ou au-dessous (vers $-\infty$).

une alternance de signe peut converger (si l'amplitude tend vers $0$) ou diverger (si l'amplitude reste $1$).

Graphe discret (exemple) : $u_n=\frac{n}{n+1}$ (points qui s'approchent de $1$).

Soit $u_n=\frac{n}{n+1}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

• Premiers termes : $u_0=0$, $u_1=\frac{1}{2}$, $u_2=\frac{2}{3}$, $u_3=\frac{3}{4}$, $u_4=\frac{4}{5}$.
• Limite :

• Justification $\epsilon$--$N$ (renforcé) :

$u_{n+1}-u_n$

Soit $v_n=\frac{2n-7}{3n+2}$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

• Monotonie : calculons

• Bornes : on compare à $-1$ :

Pour la majoration, on compare à $\frac{2}{3}$ :

• Conclusion : croissante et majorée $\Rightarrow$ converge. De plus, la limite vaut

Soit $w_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

• Encadrement : pour tout $n$,

• Limites des bornes : $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\frac{1}{n+1}=0$.
• Conclusion (deux gendarmes) : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=0$.

Soit $t_n=5n^2$ pour $n\in \mathbb{N}$.

• Pour montrer $t_n\to +\infty$, on part de la définition : pour tout $A\in \mathbb{R}$, il faut un $N$ tel que $n\ge N\Rightarrow 5n^2>A$.
• Si $A\le 0$, c'est déjà vrai dès $n=0$. Si $A>0$, il suffit de prendre

• Par exemple, on peut choisir $N=\lceil \sqrt{\frac{A}{5}}\rceil$.
• Donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }5n^2=+\infty$.

$u_n$ est un nombre, $(u_n)$ est l'objet (la fonction) tout entier.

attention à $u_0$ vs $u_1$ (décale tous les termes et parfois les formules avec $(-1{)}^n$).

• montrer $u_{n+1}-u_n\ge 0$ pour tout $n$ (ou annoncer clairement ``pour $n\ge n_0$''),
• ne pas conclure sur 2--3 valeurs numériques (insuffisant).

exemple classique $u_n=(-1{)}^n$ (bornée mais pas de limite).

c'est un critère de divergence, mais cela ne dit pas automatiquement $+\infty$ ou $-\infty$ (il faut vérifier).

• pour $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{u}{v}$, il faut $v\ne 0$ et $v_n\ne 0$ pour tout $n$ (ou au moins à partir d'un certain rang).

le théorème des deux gendarmes fonctionne même si $a_n\le u_n\le b_n$ n'est vrai qu'à partir d'un certain $n_0$.

$(-1{)}^n{a}_n$ ne converge pas si $a_n$ ne tend pas vers $0$ (ex. $a_n=1$).

• si $|q|<1$, alors $q^n\to 0$ ; si $q=1$, alors $q^n=1$ ; si $q=-1$, alors $q^n$ oscille ; si $|q|>1$, alors $|q{|}^n\to +\infty$.

Je sais définir une suite : $u:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, $n\mapsto u_n$.

Je sais distinguer définition explicite et récurrence ($u_{n+1}=f(u_n)$).

Je sais calculer les premiers termes et faire un tableau $(n,u_n)$.

Je sais tester la monotonie avec $u_{n+1}-u_n$ (et préciser ``à partir d'un rang'').

Je sais prouver qu'une suite est majorée / minorée / bornée.

Je connais la définition $\epsilon$--$N$ de $\lim u_n=A$.

Je sais trouver un $N$ explicite en fonction de $\epsilon$ (au moins sur des exemples simples).

Je connais : monotone + bornée $\Rightarrow$ convergente (théorème admis).

Je sais utiliser le théorème des deux gendarmes (même à partir d'un certain rang).

Je sais calculer des limites de formes rationnelles (division par $n^k$).

Je connais les suites de référence : $\frac{1}{n}\to 0$, $q^n\to 0$ si $|q|<1$, $n^k\to +\infty$ si $k>0$.

Je sais donner un exemple : bornée non convergente ($(-1{)}^n$) et non bornée donc non convergente.