Limites et asymptotes

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement proche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ (sans forcément prendre $x=a$).

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ existe ssi ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$.

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty$ (ou $-\infty$) : les valeurs de $f(x)$ deviennent arbitrairement grandes (ou très négatives) près de $a$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ décrivent le comportement très à droite / très à gauche.

la limite en $a$ existe et est finie, mais $f(a)$ n’existe pas ou $f(a)\ne {\lim }_{x\to a}f(x)$.

on étudie la limite quand $x$ s’approche d’une valeur frontière du domaine (souvent une seule limite unilatérale).

la droite $x=a$ est une AV si ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$ ou ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$.

la droite $y=mx+h$ est une AO si l’on peut écrire

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ signifie

$f$ est continue en $c$ si $f(c)$ existe et

$f$ est continue sur $]a,b[$ si elle est continue en tout $c\in ]a,b[$, et continue sur $[a,b]$ si en plus

si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $w$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $\exists c\in [a,b]$ tel que $f(c)=w$.

si $f$ est continue en $a$, alors $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$.

si $\lim f=L$ et $\lim g=M$ (quand $x\to a$),

si $\lim f=L$ et $L\ge 0$, alors $\lim \sqrt{f}=\sqrt{L}$.

pour $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ (polynômes) :

• si $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$, alors $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$ \ \ $\Rightarrow$ \ asymptote horizontale $y=0$;
• si $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q$, alors $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\frac{\text{coef. directeur de }P}{\text{coef. directeur de }Q}$ \ \ $\Rightarrow$ \ asymptote horizontale $y=\frac{a_n}{b_n}$;
• si $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q+1$, alors AO : faire la division polynomiale $P=Q(mx+h)+r$;
• si $\mathrm{deg}P>\mathrm{deg}Q+1$, pas d’AH/AO (la croissance est plus forte).

si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ près de $a$ et

si $|f(x)-L|\le \phi (x)$ près de $a$ et ${\lim }_{x\to a}\phi (x)=0$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$.

si ${\lim }_{x\to a}g(x)=b$ et $f$ est continue en $b$, alors

si ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$, alors ${\lim }_{x\to a}|f(x)|=|L|$.

$\frac{0}{0}$) : quand $x\to 0$,

si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, alors $\exists c\in (a,b)$ tel que $f(c)=0$.

${\lim }_{x\to a}f(x)$ :

• Vérifier le domaine $\mathcal{D}(f)$ (valeurs interdites, racines, dénominateur, etc.).
• Substitution directe : $x=a$ si possible (fonction continue en $a$).
• Si on obtient $\frac{0}{0}$ : factoriser et simplifier (ex. $(x-a)$), puis substituer.
• Si des racines créent $\frac{0}{0}$ : rationaliser (multiplier par le conjugué).
• Si le dénominateur $\to 0$ mais le numérateur $\nrightarrow 0$ : calculer les limites à gauche et à droite (signe !) pour décider $+\infty$, $-\infty$ ou « non définie ».
• Encadrement : trouver $g\le f\le h$ avec des limites faciles (théorème des gendarmes).
• Equivalents près de $0$ : (sin, tan, $1-\cos$) pour transformer une forme $\frac{0}{0}$ en limite évidente.
• Fonction définie par morceaux : calculer séparément ${\lim }_{x\to a^{-}}$ et ${\lim }_{x\to a^{+}}$ (et comparer).

• Chercher les valeurs interdites (souvent $Q(x)=0$ dans une fraction).
• Pour chaque $a$ interdit : calculer $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$.
• Si au moins une des deux vaut $\pm \infty$, alors $x=a$ est une AV.
• Astuce signe (rationnelles) : étudier le signe de $Q(x)$ près de $a$ et celui du numérateur.
• Distinguer AV vs trou : si, après simplification d’un facteur $(x-a)$, la limite devient finie, alors c’est un trou (pas une AV).

• Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
• Si la limite vaut un réel $b$, alors $y=b$ est une AHG ou AHD.
• Pour une fonction rationnelle : comparer les degrés (voir Formules essentielles).
• Méthode dominante : : factoriser par la plus grande puissance de $x$ au numérateur et au dénominateur.

• Vérifier que $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q+1$.
• Faire la division polynomiale : $\frac{P(x)}{Q(x)}=mx+h+\frac{r(x)}{Q(x)}$.
• Poser $\delta (x)=\frac{r(x)}{Q(x)}$ et vérifier ${\lim }_{x\to \pm \infty }\delta (x)=0$.
• Conclure : l’AO est $y=mx+h$.
• Position relative : étudier le signe de $\delta (x)$ pour savoir si la courbe est au-dessus/au-dessous de l’AO à droite/gauche.

• Trouver $\mathcal{D}(f)$, zéros, signe (si possible), points faciles (ex. $x=0$).
• Placer AV/AH/AO et préciser le comportement (vers $+\infty$ ou $-\infty$).
• Ajouter la position par rapport à l’AH/AO via $\delta (x)=f(x)-(\text{asymptote})$.
• Compléter l’allure globale (continuité sur chaque intervalle du domaine).
• Discontinuités : identifier la nature (trou / saut / AV) et marquer clairement le point (ouvert/fermé) si $f(a)$ est (ou non) défini.

• Partir de $|f(x)-L|<\epsilon$ et transformer en condition sur $|x-a|$.
• Trouver une contrainte du type $|x-a|<\delta (\epsilon )$ suffisante.
• Conclure : choisir $\delta$ (souvent une expression simple en $\epsilon$) qui marche.

• Vérifier que $f$ est continue sur $[a,b]$.
• Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier $f(a)f(b)<0$.
• Conclure : $\exists c\in (a,b)$ tel que $f(c)=0$ (et on peut approximer $c$ par dichotomie).

• $x\to a$ : on zoome autour de $a$ ; si la courbe se rapproche d’une hauteur $L$, alors ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$.
• $x\to a^{\pm }$ : on lit séparément le comportement à gauche et à droite de $a$.
• $x\to \pm \infty$ : on regarde très à droite / très à gauche : « la courbe plafonne » (AH) ou « suit une droite » (AO).

si $x=a$ est AV, la courbe « monte/descend sans borne » près de $a$.

si $y=b$ est AH, la courbe se rapproche de la droite $y=b$ quand $x\to \pm \infty$ (elle peut la couper).

si $f(x)=mx+h+\delta (x)$ avec $\delta (x)\to 0$, alors la courbe se comporte « comme » $y=mx+h$ à l’infini.

• Par rapport à une AO $y=mx+h$ : $\delta (x)=f(x)-(mx+h)$. Si $\delta (x)>0$, la courbe est au-dessus ; si $\delta (x)<0$, en dessous.
• Par rapport à une AH $y=b$ : $\delta (x)=f(x)-b$ (même lecture).

• Trou (amovible) : la courbe suit une tendance, mais le point est ``manquant'' (rond vide).
• Saut : deux hauteurs différentes à gauche et à droite (${\lim }_{x\to a^{-}}\ne {\lim }_{x\to a^{+}}$).
• Infinie : AV (la courbe explose vers $\pm \infty$).

Graphique 1 : exemple avec AV et AO
On considère $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x-1}=3x+2+\frac{3}{x-1}$ : AV en $x=1$ et AO $y=3x+2$.

Graphique 2 : exemple avec AH
On considère $g(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}$ : AH $y=1$ (car degrés égaux et rapport des coefficients directeurs $=1$).

Graphique 3 : trou vs saut
Trou : $p(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\ne 1$ (la courbe suit $y=x+1$ mais le point $(1,2)$ manque).
Saut : $q(x)=1$ si $x<0$ et $q(x)=2$ si $x\ge 0$.

$0/0$) :
Calculer $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-2}$ et interpréter.

Complément : si l’on définit $f(2)=-\frac{1}{3}$, alors la fonction prolongée devient continue en $2$ (on ``rebouche'' le trou).

Étudier $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{3}{1-x}$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{3}{1-x}$.

Si $x\to 1^{-}$, alors $1-x\to 0^{+}$ (positif très petit), donc $\frac{3}{1-x}\to +\infty$.

Si $x\to 1^{+}$, alors $1-x\to 0^{-}$ (négatif très petit), donc $\frac{3}{1-x}\to -\infty$.

$x=1$ est une asymptote verticale. Les deux limites unilatérales sont différentes ($+\infty$ et $-\infty$), donc la limite ${\lim }_{x\to 1}\frac{3}{1-x}$ n’est pas une limite finie (on décrit le comportement avec les unilatérales).

Complément : pour une fraction $\frac{A(x)}{B(x)}$ avec $B(x)\to 0$, un petit tableau de signes de $A(x)$ et $B(x)$ près de $a$ suffit souvent pour conclure sur $+\infty$ ou $-\infty$.

Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2+5}$ et en déduire l’asymptote.

Complément : si $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q$, la limite vaut toujours le rapport des coefficients directeurs (sans calcul détaillé), car les termes dominants gouvernent le quotient.

Déterminer l’AO et l’AV de $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x-1}$.

Domaine : $x\ne 1$. On suspecte une AV en $x=1$ (valeur interdite).

Division :

Comme $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{x-1}=0$, on a une AO : $y=3x+2$.

Pour l’AV : $\frac{3}{x-1}\to \pm \infty$ quand $x\to 1^{\pm }$, donc $x=1$ est une AV.

Position par rapport à l’AO : $\delta (x)=\frac{3}{x-1}$.

• Si $x>1$, alors $\delta (x)>0$ : la courbe est au-dessus de l’AO.
• Si $x<1$, alors $\delta (x)<0$ : la courbe est en dessous de l’AO.

Complément : la décomposition $f(x)=\text{(AO)}+\delta (x)$ est une méthode générale : pour comparer la courbe à son asymptote, on étudie simplement $\delta (x)$ (signe, et $\delta (x)\to 0$).

${\lim }_{x\to a}f(x)$ : la limite peut exister même si $f(a)$ n’existe pas (trou).

indispensable si $a$ est un bord du domaine ou une valeur interdite.

$\frac{0}{0}$ n’est pas une réponse, c’est un signal : il faut transformer l’expression.

toujours analyser le signe de $(x-a)$ (ou du facteur qui s’annule) à gauche et à droite.

simplifier par $(x-a)$ est correct pour le calcul de limite (avec $x\ne a$), mais cela ne rend pas la fonction définie en $a$.

pour les rationnelles, seuls les plus hauts degrés comptent (après factorisation par la plus grande puissance de $x$).

pour $\frac{P}{Q}$ :

• $\mathrm{deg}P\le \mathrm{deg}Q$ : AH (limite finie, éventuellement 0).
• $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q+1$ : AO (division polynomiale).

ex. $\sqrt{2-x}$ : on étudie $x\to 2^{-}$ (pas de limite à droite car hors domaine).

ce n’est pas une contradiction (sauf pour une AV, qu’elle ne peut pas traverser car $x=a$ interdit).

$\sin x\sim x$ uniquement quand $x\to 0$ (pas quand $x\to a\ne 0$).

l’inégalité $g\le f\le h$ doit être vraie près de $a$ (pas forcément partout).

l’égalité des unilatérales ne suffit pas si l’une n’existe pas ; près de $0$, des fonctions comme $\sin (1/x)$ oscillent sans se stabiliser.

toujours mettre au même dénominateur ou factoriser avant de conclure.

multiplier/diviser une inégalité par une quantité dont le signe change peut inverser le sens (mieux : travailler avec des valeurs absolues).

Je sais définir ${\lim }_{x\to a}f(x)$ et les limites à gauche/droite.

Je vérifie toujours le domaine $\mathcal{D}(f)$ avant un calcul.

Si $f$ est continue en $a$, j’utilise ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

En cas de $\frac{0}{0}$, je factorise/simplifie ou je rationalise.

Si le dénominateur $\to 0$ et le numérateur $\nrightarrow 0$, je calcule les limites unilatérales (signe !).

Je sais trouver les AV : valeurs interdites + limites infinies.

Je sais trouver les AH : limites en $\pm \infty$ (degrés pour les rationnelles).

Je sais trouver une AO : division polynomiale et $\delta (x)\to 0$.

Je sais lire la position au-dessus/dessous via $\delta (x)$.

Je peux esquisser un graphe en combinant domaine, asymptotes et comportement.

Je connais l’idée de la définition $\epsilon$--$\delta$ d’une limite.

Je sais utiliser un encadrement (théorème des gendarmes).

Je connais les limites trigonométriques de base près de $0$.

Je sais distinguer trou / saut / AV sur un graphe.

Je sais appliquer le TVI pour garantir l’existence d’une racine.