Généralité sur les fonctions

une fonction $f$ associe à chaque $x$ d'un ensemble de départ $A$ un unique élément $y$ d'un ensemble d'arrivée $B$.

Notation : $f:A\to B,x\mapsto f(x)$ ; on écrit aussi $y=f(x)$.

si $y=f(x)$, alors $y$ est l'image de $x$.

$x$ est un antécédent de $y$ si $f(x)=y$.

$\mathcal{D}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\text{existe}\}$.

$\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in \mathcal{D}(f)\}$ (ensemble des valeurs possibles de $f(x)$).

$f^{-1}(\{y\})=\{x\in \mathcal{D}(f)\mid f(x)=y\}$ (ensemble, parfois vide).

pour $P\subseteq \mathbb{R}$,

$G_f=\{(x,f(x))\mid x\in \mathcal{D}(f)\}$, courbe d'équation $y=f(x)$.

formule, tableau de valeurs, diagramme, graphique.

• $f$ injective : $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ (au plus un antécédent).
• $f$ surjective (de $A$ vers $B$) : $\mathrm{Im}(f)=B$.
• $f$ bijective : injective et surjective (exactement un antécédent pour chaque $y\in B$).

(nécessite que $\mathcal{D}(f)$ soit symétrique : $x\in \mathcal{D}(f)\Rightarrow -x\in \mathcal{D}(f)$)

• $f$ paire : $f(-x)=f(x)$.
• $f$ impaire : $f(-x)=-f(x)$.

sur une réunion d'intervalles, on donne une formule différente selon le cas :

$f(x)=0$ $⟺$ abscisses des points où $G_f$ coupe l'axe $Ox$.

$f(0)$ (si $0\in \mathcal{D}(f)$) : point d'intersection avec l'axe $Oy$.

une courbe est le graphe d'une fonction $y=f(x)$ ssi toute droite verticale $x=c$ la coupe au plus une fois.

• Interdit : diviser par zéro $\Rightarrow$ dénominateur $\ne 0$.
• Interdit :   ​ d'un nombre négatif $\Rightarrow$ nombre sous la racine $\ge 0$.
• Interdit : $\log ()$ d'un nombre $\le 0$ $\Rightarrow$ argument $>0$.

(si $f,g$ sont définies) :

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

• Si $f:A\to B$ est bijective, il existe une fonction réciproque $f^{-1}:B\to A$ telle que

• Lien ensembles : $\mathcal{D}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Im}(f^{-1})=\mathcal{D}(f)$ (sur les ensembles choisis).

(pour $P,Q\subseteq \mathbb{R}$) :

• Constante $f(x)=c$ : droite horizontale $y=c$.
• Linéaire $f(x)=mx$ : droite passant par l'origine, pente $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Affine $f(x)=mx+h$ : pente $m$, ordonnée à l'origine $h$.
• Quadratique $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) :

• Rationnelle $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ : $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{Q(x)=0\}$ (et valeurs interdites restent interdites même si simplification).
• Racine $f(x)=\sqrt{P(x)}$ ou $\sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}$ : imposer $P(x)\ge 0$ et $Q(x)\ne 0$ (et $\frac{P}{Q}\ge 0$ si sous racine).

si $\mathcal{D}$ est symétrique :

• paire + paire = paire ; impaire + impaire = impaire ; paire $\times$ paire = paire ; impaire $\times$ impaire = paire ; paire $\times$ impaire = impaire.
• Une fonction non nulle ne peut pas être à la fois paire et impaire.

• Repérer les dénominateurs $\Rightarrow$ imposer $\ne 0$.
• Repérer les racines carrées $\Rightarrow$ imposer nombre sous la racine $\ge 0$ (ou expression sous racine $\ge 0$).
• Repérer les logarithmes $\Rightarrow$ imposer argument $>0$.
• Réunir les conditions (intersection) et simplifier.

• Écrire clairement $g(f(x))$.
• Exiger $x\in \mathcal{D}(f)$.
• Exiger en plus que $f(x)\in \mathcal{D}(g)$ (souvent une inégalité ou une exclusion).
• Conclure : $\mathcal{D}(g\circ f)=\{x\in \mathcal{D}(f)\mid f(x)\in \mathcal{D}(g)\}$.

• Vérifier que $x\in \mathcal{D}(f)$.
• Remplacer $x$ par sa valeur et calculer $f(x)$.

• Résoudre l'équation $f(x)=y_0$.
• Conserver uniquement les solutions appartenant à $\mathcal{D}(f)$.
• Conclusion : $f^{-1}(\{y_0\})$ est l'ensemble des solutions.

• Résoudre l'inéquation $\alpha \le f(x)\le \beta$.
• Appliquer les contraintes de $\mathcal{D}(f)$.
• Conclure : $f^{-1}(P)=\{x\in \mathcal{D}(f)\mid \alpha \le f(x)\le \beta \}$.

• Appliquer le test de la droite verticale.
• Si une verticale coupe la courbe en $\ge 2$ points : pas une fonction.

• Trouver $\mathcal{D}(f)$.
• Trouver les zéros (solutions de $f(x)=0$) si possible.
• Étudier le signe via factorisation et tableau de signes.
• Pour une quadratique : trouver sommet $S$ et axe $x=-\frac{b}{2a}$.
• Placer quelques points (tableau de valeurs) et tracer l'allure (tenir compte des ruptures si morceaux / dénominateurs).

• Vérifier que $\mathcal{D}(f)$ est symétrique : $x\in \mathcal{D}\Rightarrow -x\in \mathcal{D}$.
• Calculer $f(-x)$.
• Comparer : si $f(-x)=f(x)$ alors paire ; si $f(-x)=-f(x)$ alors impaire ; sinon ni paire ni impaire.

• Étudier le signe de l'expression à l'intérieur : $u(x)$.
• Écrire

$f^{-1}$ (si $f$ est bijective) :

• Partir de $y=f(x)$.
• Résoudre en $x$ (exprimer $x$ en fonction de $y$).
• Échanger les lettres : $f^{-1}(x)$ s'obtient en remplaçant $y$ par $x$.
• Préciser les ensembles : $\mathcal{D}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f)$, et $\mathrm{Im}(f^{-1})=\mathcal{D}(f)$.
• Astuce bijection : : si $f$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$, on peut restreindre le domaine (ex. $x^2$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$).

• $\mathcal{D}(f)$ : projection du graphe sur l'axe $x$ (les $x$ visibles).
• $\mathrm{Im}(f)$ : projection sur l'axe $y$ (les $y$ atteints).
• Zéros : points où la courbe coupe (ou touche) l'axe $Ox$.
• $f(0)$ : intersection avec l'axe $Oy$.
• $f^{-1}(\{y_0\})$ : abscisses des points du graphe d'ordonnée $y_0$ (intersection avec l'horizontale $y=y_0$).

à partir de la courbe $y=f(x)$ :

• $y=f(x)+c$ : translation verticale de $c$.
• $y=f(x-c)$ : translation horizontale de $c$ vers la droite.
• $y=cf(x)$ : étirement/compression vertical ; si $c<0$, symétrie par rapport à $Ox$.
• $y=f(-x)$ : symétrie par rapport à $Oy$.
• $y=-f(x)$ : symétrie par rapport à $Ox$.
• $y=|f(x)|$ : partie négative du graphe reflétée au-dessus de $Ox$.
• $y=f(|x|)$ : on conserve la partie pour $x\ge 0$ puis on la symétrise par rapport à $Oy$.

• $f$ paire $\Rightarrow$ $G_f$ symétrique par rapport à $Oy$.
• $f$ impaire $\Rightarrow$ $G_f$ symétrique par rapport à l'origine $O$.

(sur l'ensemble choisi)

• Injective : toute droite horizontale $y=c$ coupe $G_f$ au plus une fois.
• Surjective vers $B$ : les horizontales $y=c$ (avec $c\in B$) coupent $G_f$ au moins une fois.
• Bijective : exactement une fois pour tout $c\in B$.

si $f$ est bijective, $G_{f^{-1}}$ est le symétrique de $G_f$ par rapport à la droite $y=x$.

parabole $f(x)=x^2-2x-3$ (zéros, sommet, axe).

Soit

Soient

• $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et $\mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$.
• (a) : $(g\circ f)(x)=g\left(\frac{1}{x-1}\right)={\left(\frac{1}{x-1}\right)}^2-3=\frac{1}{(x-1{)}^2}-3$.

Domaine : il faut $x\in \mathcal{D}(f)$ et (automatiquement) $f(x)\in \mathcal{D}(g)$.
Donc $\mathcal{D}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

• (b) : $(f\circ g)(x)=f(x^2-3)=\frac{1}{(x^2-3)-1}=\frac{1}{x^2-4}$.

Domaine : il faut $x\in \mathcal{D}(g)$ et $g(x)\ne 1$ (car $f$ interdit l'entrée $1$).
Donc $x^2-3\ne 1\iff x^2\ne 4\iff x\ne \pm 2$, et

Considérons $h(x)=x^2-3$.

• Sur $\mathbb{R}$, $h$ n'est pas injective (car $h(2)=h(-2)$), donc pas de réciproque sur $\mathbb{R}$.
• Sur ${\mathbb{R}}^{+}$, $h:{\mathbb{R}}^{+}\to [-3,+\infty )$ est bijective (croissante sur ${\mathbb{R}}^{+}$ et image $[-3,+\infty )$).
• Pour trouver la réciproque : $y=x^2-3$ avec $x\ge 0$.

Définissons

• Domaine : $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$.
• Continuité aux points de jonction :

• Parité : $\mathcal{D}$ est symétrique, mais pour $x>2$, $f(x)=1$ alors que $f(-x)=-(-x)+1=x+1\ne \pm 1$ :

$f$ est ni paire ni impaire.

une relation peut donner plusieurs $y$ pour un même $x$ (échec du test vertical).

après résolution (zéros, antécédents), vérifier que les solutions sont dans $\mathcal{D}(f)$.

obligatoire $\text{expression sous la racine}\ge 0$ (et non $>0$).

même si une simplification algébrique est possible, les valeurs interdites du dénominateur restent interdites dans l'expression initiale.

$\frac{f}{g}$ : on doit enlever aussi les $x$ tels que $g(x)=0$.

$\mathcal{D}(g\circ f)$ n'est pas toujours $\mathcal{D}(f)\cap \mathcal{D}(g)$ : il faut que $f(x)$ tombe dans $\mathcal{D}(g)$.

• $f^{-1}(\{y\})$ = ensemble des antécédents de $y$ (peut avoir 0, 1 ou plusieurs éléments).
• $f^{-1}$ (fonction réciproque) n'existe que si $f$ est bijective (sur les ensembles considérés).

si on restreint le domaine (ex. $x^2$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$), on peut rendre une fonction bijective et obtenir une réciproque (ex. $\sqrt{x}$).

attention au signe à l'intérieur :

si $\mathcal{D}$ n'est pas symétrique (ex. $\mathcal{D}=[0,+\infty )$), la notion paire/impaire ne s'applique pas.

• Bien distinguer $\le$ et $<$ : un point frontière appartient à un seul morceau.
• Au graphe : point plein si inclus, point vide si exclu.

$|f(x)|$ n'est pas $f(|x|)$ en général (attention à l'endroit du $|\cdot |$).

Je sais définir une fonction $f:A\to B$ et lire $f(x)$.

Je sais déterminer $\mathcal{D}(f)$ (fractions, racines, logarithmes si présents).

Je sais déterminer $\mathcal{D}(g\circ f)$ avec $x\in \mathcal{D}(f)$ et $f(x)\in \mathcal{D}(g)$.

Je sais calculer une image $f(a)$ et trouver des antécédents en résolvant $f(x)=y_0$.

Je sais trouver la préimage $f^{-1}(P)$ d'un intervalle en résolvant une inéquation.

Je sais interpréter $\mathrm{Im}(f)$ et $f^{-1}(\{y\})$.

Je sais utiliser le test de la droite verticale.

Je sais trouver les zéros ($f(x)=0$) et $f(0)$ quand c'est défini.

Je sais faire $f+g$, $f-g$, $fg$, $\frac{f}{g}$ et leurs domaines.

Je sais calculer une composée $g\circ f$ et son domaine.

Je sais reconnaître quand une réciproque existe (bijection) et quand il faut restreindre le domaine.

Je sais déterminer $f^{-1}$ en résolvant $y=f(x)$ en $x$ et en précisant les ensembles.

Je sais relier le graphe de $f^{-1}$ à la symétrie par rapport à $y=x$.

Je sais tester si une fonction est paire/impaire.

Je sais écrire une fonction par morceaux et lire correctement ses points frontières.

Je sais décrire les transformations : $f(x)+c$, $f(x-c)$, $cf(x)$, $f(-x)$, $|f(x)|$, $f(|x|)$.