Analyse I · niveau standard

Dérivée et calculs

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Taux d'accroissement

entre $a$ et $a + h$ ( $h \neq = 0$ ) :

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Nombre dérivé en $a$

(si la limite existe et est finie) :

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} (\overset{e}{ˊ} quivalent \overset{a}{ˋ} x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}) .

Dérivable en $a$

la fonction $f$ est dérivable en $a$ si $f^{'} (a)$ existe.

Fonction dérivée

$f^{'}$ associe à chaque $x$ où $f$ est dérivable la valeur $f^{'} (x)$ .

Interprétation géométrique

$f^{'} (a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y = f (x)$ au point $A (a, f (a))$ .

Notations

$f^{'} (x)$ , $y^{'}$ , $\frac{d y}{d x}$ (si $y = f (x)$ ).

Remarques

Si $f$ n'est pas définie en $a$ , alors $f^{'} (a)$ n'a pas de sens.
$f^{'} (a)$ peut ne pas exister (point anguleux, discontinuité, tangente verticale, etc.).

🧮

Formules essentielles

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Définition (limite)

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Équation de la tangente en $a$

(si $f$ est dérivable en $a$ ) :

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Règles de calcul (avec conditions)

Puissance : si $n \in Z$ (et plus généralement $n \in Q$ là où c'est défini),

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} .

Constante : $(c)^{'} = 0$ .
Multiplication par une constante : $(c g (x))^{'} = c g^{'} (x)$ .
Somme / différence : $(g (x) \pm h (x))^{'} = g^{'} (x) \pm h^{'} (x)$ .
Produit : $(g (x) h (x))^{'} = g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)$ .
Quotient : si $h (x) \neq = 0$ ,

(\frac{g ( x )}{h ( x )})^{'} = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}} .

Composition / ``parenthèse'' (règle de la chaîne : ne) :

si $u (x)$ est dérivable et $n \in Z$ ,

((u (x))^{n})^{'} = n (u (x))^{n - 1} u^{'} (x) .

Cas très utiles : (en réécrivant en puissances) :

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}, (x)^{'} = \frac{1}{2 x} (x > 0), (\frac{1}{u ( x )})^{'} = - \frac{u ^{'} ( x )}{( u ( x ) ) ^{2}} (u (x) \neq = 0) .

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Méthodes

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Pour dériver une expression algébrique (polynômes, fractions, racines)

Simplifier si possible (développer/factoriser quand utile, réduire).
Réécrire les racines et fractions en puissances :

x = x^{1/2}, \frac{1}{x ^{k}} = x^{- k} .

Identifier la structure : somme, produit, quotient, puissance de parenthèse.
Appliquer les règles dans l'ordre (sommes, puis produit/quotient, puis chaîne).
Simplifier la dérivée (forme factorisée ou réduite, selon le besoin).

Pour trouver l'équation de la tangente en $x = a$

Calculer $f^{'} (x)$ .
Calculer la pente $m = f^{'} (a)$ .
Calculer le point de contact $A (a, f (a))$ .
Écrire la tangente :

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) (ou y = m x + h apr \overset{e}{ˋ} s mise sous forme) .

Pour trouver où la pente vaut une valeur donnée $m_{0}$

Calculer $f^{'} (x)$ .
Résoudre l'équation $f^{'} (x) = m_{0}$ (en tenant compte du domaine).
Pour chaque solution $x = a$ , on peut obtenir le point $A (a, f (a))$ et (si demandé) l'équation de la tangente.

Pour trouver les tangentes horizontales

Résoudre $f^{'} (x) = 0$ (avec le domaine).
Les abscisses trouvées donnent des points où la tangente est horizontale.

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Interprétations et graphiques

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Pente et variations

$f^{'} (a) > 0$ : la tangente monte à $x = a$ (fonction localement croissante).
$f^{'} (a) < 0$ : la tangente descend à $x = a$ (fonction localement décroissante).
$f^{'} (a) = 0$ : tangente horizontale (souvent un extremum, mais pas toujours).

Sens ``physique''

si $f (t)$ est une position, alors $f^{'} (t)$ est une vitesse instantanée (taux de variation instantané).

Lien sécante $\to$ tangente

pente de la s \overset{e}{ˊ} cante = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} h \to 0 f^{'} (a) = pente de la tangente .

Graphe (exemple)

parabole $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ et tangente en $a = 1$ .

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Exemples-types

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Tangente à une parabole (règles + équation)

Soit $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ . Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 1$ .

Dérivée :

f^{'} (x) = (x^{2})^{'} - (3 x)^{'} - 4^{'} = 2 x - 3 - 0 = 2 x - 3.

Pente en $a = 1$ :

f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1.

Point de contact :

f (1) = 1 - 3 - 4 = - 6 \Rightarrow A (1, - 6) .

Tangente :

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = - 6 - 1 (x - 1) = - x - 5.

Dérivée d'un quotient (attention aux règles)

Soit $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 5}$ . Calculer $f^{'} (x)$ puis la pente au point $x = 1$ .

Posons $g (x) = 2 x - 3$ et $h (x) = x - 5$ (domaine : $x \neq = 5$ ).

g^{'} (x) = 2, h^{'} (x) = 1.

Règle du quotient :

f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 5 ) - ( 2 x - 3 ) \cdot 1}{( x - 5 ) ^{2}} = \frac{2 x - 10 - 2 x + 3}{( x - 5 ) ^{2}} = - \frac{7}{( x - 5 ) ^{2}} .

Pente en $x = 1$ :

f^{'} (1) = - \frac{7}{( 1 - 5 ) ^{2}} = - \frac{7}{16} .

Racine + chaîne

ne (domaine !)
Soit $f (x) = x^{2} + 5 x - 4$ . Calculer $f^{'} (x)$ et préciser le domaine de dérivabilité.

Domaine de définition : il faut $x^{2} + 5 x - 4 \geq 0$ .

x^{2} + 5 x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 5 \pm 25 + 16}{2} = \frac{- 5 \pm 41}{2} .

Comme le coefficient de

x^{2}

est positif,

x^{2} + 5 x - 4 \geq 0

en dehors des racines :

D_{f} = (- \infty, \frac{- 5 - 41}{2}] \cup [\frac{- 5 + 41}{2}, + \infty) .

Pour dériver, on écrit $f (x) = (u (x))^{1/2}$ avec $u (x) = x^{2} + 5 x - 4$ .

u^{'} (x) = 2 x + 5.

Chaînene :

f^{'} (x) = \frac{1}{2} (u (x))^{- 1/2} u^{'} (x) = \frac{2 x + 5}{2 x ^{2} + 5 x - 4} .

Domaine de dérivabilité : il faut strictement $x^{2} + 5 x - 4 > 0$ (dénominateur $\neq = 0$ ) :

D_{f^{'}} = (- \infty, \frac{- 5 - 41}{2}) \cup (\frac{- 5 + 41}{2}, + \infty) .

Trouver où la tangente est parallèle à une droite

Soit $f (x) = x^{3} - x^{2} - 5 x + 2$ . On veut les points où la tangente est parallèle à la droite passant par $A (- 3, 2)$ et $B (1, 14)$ .

Pente de la droite $(A B)$ :

m_{A B} = \frac{14 - 2}{1 - ( - 3 )} = \frac{12}{4} = 3.

Dérivée :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5.

Parallélisme : $f^{'} (x) = 3$ .

3 x^{2} - 2 x - 5 = 3 \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x - 8 = 0.

Résolution :

Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 4 + 96 = 100, x = \frac{2 \pm 10}{6} .

Donc

x_{1} = \frac{12}{6} = 2, x_{2} = \frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3} .

Conclusion : la tangente est parallèle à $(A B)$ aux abscisses $x = 2$ et $x = - \frac{4}{3}$ (on peut ensuite calculer $f (x)$ et l'équation de chaque tangente si demandé).

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Pièges et cas particuliers

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Domaine d'abord

une dérivée peut imposer des conditions plus fortes (ex. $u (x)$ : $u (x) > 0$ pour $f^{'} (x)$ ).

Ne pas confondre

f^{'} (a) (un nombre) et f^{'} (x) (une fonction) .

Erreur classique

$(g h)^{'} \neq = g^{'} h^{'}$ (il faut $g^{'} h + g h^{'}$ ).

Quotient

ne pas oublier le carré du dénominateur et le signe ``moins'' :

(\frac{g}{h})^{'} = \frac{g ^{'} h - g h ^{'}}{h ^{2}} .

Chaîne

ne oubliée : pour $(u (x))^{n}$ , ne pas oublier le facteur $u^{'} (x)$ .

Réécritures utiles

\frac{1}{x ^{k}} = x^{- k} \Rightarrow (x^{- k})^{'} = - k x^{- k - 1} .

Dériver puis remplacer

on ne remplace pas $x = a$ à l'intérieur avant d'avoir calculé $f^{'} (x)$ .

Non-dérivabilité

angle (pentes à gauche/droite différentes), discontinuité, tangente verticale (pente ``infinie'').

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À retenir

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Je sais écrire la définition : $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .

Je sais calculer une dérivée par les règles (somme, produit, quotient, puissance, chaîne).

Je réécris racines et fractions en puissances avant de dériver.

Je vérifie le domaine (fonction puis dérivée).

Je sais trouver la pente en $a$ : $m = f^{'} (a)$ .

Je sais écrire la tangente : $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ .

Je sais résoudre $f^{'} (x) = m_{0}$ pour une pente imposée.

Je sais résoudre $f^{'} (x) = 0$ pour les tangentes horizontales.

Je fais attention aux signes et au carré du dénominateur dans la règle du quotient.

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