Généralité sur les fonctions

une fonction $f$ associe à chaque $x$ d'un ensemble de départ $A$ un unique élément $y$ d'un ensemble d'arrivée $B$.

Notation : $f:A\to B,x\mapsto f(x)$ ; on écrit aussi $y=f(x)$.

si $y=f(x)$, alors $y$ est l'image de $x$.

$x$ est un antécédent de $y$ si $f(x)=y$.

$\mathcal{D}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\text{existe}\}$.

$\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in \mathcal{D}(f)\}$ (ensemble des valeurs possibles de $f(x)$).

$f^{-1}(\{y\})=\{x\in \mathcal{D}(f)\mid f(x)=y\}$ (ensemble, parfois vide).

$G_f=\{(x,f(x))\mid x\in \mathcal{D}(f)\}$, courbe d'équation $y=f(x)$.

formule, tableau de valeurs, diagramme, graphique.

$f(x)=0$ $⟺$ abscisses des points où $G_f$ coupe l'axe $Ox$.

$f(0)$ (si $0\in \mathcal{D}(f)$) : point d'intersection avec l'axe $Oy$.

une courbe est le graphe d'une fonction $y=f(x)$ ssi toute droite verticale $x=c$ la coupe au plus une fois.

• Interdit : diviser par zéro $\Rightarrow$ dénominateur $\ne 0$.
• Interdit :   ​ d'un nombre négatif $\Rightarrow$ nombre sous la racine $\ge 0$.
• Interdit : $\log ()$ d'un nombre $\le 0$ $\Rightarrow$ argument $>0$.

(si $f,g$ sont définies sur des ensembles) :

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

• $f:A\to B$ est bijective si chaque $y\in B$ a exactement un antécédent dans $A$.
• Si $f$ est bijective, il existe une fonction réciproque $f^{-1}:B\to A$ telle que

• Repérer les dénominateurs $\Rightarrow$ imposer $\ne 0$.
• Repérer les racines carrées $\Rightarrow$ imposer nombre sous la racine $\ge 0$.
• Repérer les logarithmes $\Rightarrow$ imposer argument $>0$ (si présent).
• Réunir les conditions (intersection) et simplifier.

• Vérifier que $x\in \mathcal{D}(f)$.
• Remplacer $x$ par sa valeur et calculer $f(x)$.

• Résoudre l'équation $f(x)=y_0$.
• Conserver uniquement les solutions appartenant à $\mathcal{D}(f)$.
• Conclusion : $f^{-1}(\{y_0\})$ est l'ensemble des solutions.

• Appliquer le test de la droite verticale.
• Si une verticale coupe la courbe en $\ge 2$ points : pas une fonction.

• Trouver $\mathcal{D}(f)$.
• Trouver les zéros (solutions de $f(x)=0$) si possible.
• Étudier le signe via factorisation et tableau de signes.
• Placer quelques points (tableau de valeurs) et tracer l'allure.

• Calculer $g(f(x))$ en remplaçant l'entrée de $g$ par $f(x)$.
• Déterminer $\mathcal{D}(g\circ f)$ avec : $x\in \mathcal{D}(f)$ et $f(x)\in \mathcal{D}(g)$.

$f^{-1}$ (si $f$ est bijective) :

• Partir de $y=f(x)$.
• Résoudre en $x$ (exprimer $x$ en fonction de $y$).
• Échanger les lettres : $f^{-1}(x)$ s'obtient en remplaçant $y$ par $x$.
• Préciser les ensembles : $\mathcal{D}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f)$, et $\mathrm{Im}(f^{-1})=\mathcal{D}(f)$.

• $\mathcal{D}(f)$ : projection du graphe sur l'axe $x$ (les $x$ visibles).
• $\mathrm{Im}(f)$ : projection sur l'axe $y$ (les $y$ atteints).
• Zéros : points où la courbe coupe (ou touche) l'axe $Ox$.
• $f(0)$ : intersection avec l'axe $Oy$.

à partir de la courbe $y=f(x)$ :

• $y=f(x)+c$ : translation verticale de $c$ (haut si $c>0$).
• $y=f(x-c)$ : translation horizontale de $c$ vers la droite.
• $y=cf(x)$ : étirement vertical (si $|c|>1$) ou compression (si $0<|c|<1$); si $c<0$, symétrie par rapport à $Ox$.
• $y=f(-x)$ : symétrie par rapport à $Oy$.
• $y=|f(x)|$ : partie négative du graphe reflétée au-dessus de $Ox$.

(sur l'ensemble choisi)

• Une fonction est injective si toute droite horizontale $y=c$ coupe le graphe au plus une fois.
• Elle est bijective (de $A$ vers $B$) si elle est injective et que $\mathrm{Im}(f)=B$.

si $f$ est bijective, $G_{f^{-1}}$ est le symétrique de $G_f$ par rapport à la droite $y=x$.

parabole $f(x)=x^2-2x-3$ (zéros visibles, sommet, etc.).

Soit

Soit $f(x)=2x^2+5x-7$.

• Zéros : : résoudre $2x^2+5x-7=0$.

• Intersection avec $Ox$ : : points $(1,0)$ et $\left(-\frac{7}{2},0\right)$.
• Ordonnée à l'origine : : $f(0)=-7$ donc point $(0,-7)$.

Soient $f(x)=3x$ et $g(x)=\frac{1}{x+2}$.

• $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, $\mathcal{D}(g)=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
• Somme : :
  $$(f+g)(x)=3x+\frac{1}{x+2},\mathcal{D}(f+g)=\mathbb{R}\setminus \{-2\}.$$
• Quotient : :
  $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{3x}{1/(x+2)}=3x(x+2)=3x^2+6x.$$

Domaine : on exige $x\in \mathcal{D}(f)\cap \mathcal{D}(g)$ et $g(x)\ne 0$. Or $g(x)=\frac{1}{x+2}\ne 0$ pour tout $x\ne -2$.
Donc

(a) Composition) Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+1$.

(b) Réciproque) Soit $h(x)=\frac{2x+3}{x+5}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$.

• On cherche $h^{-1}$. Posons $y=\frac{2x+3}{x+5}$ et résolvons en $x$ :

• Donc

• Interprétation : $h$ ne peut jamais valoir $2$ (donc $\mathrm{Im}(h)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$).

une relation peut donner plusieurs $y$ pour un même $x$ (échec du test vertical).

après résolution (zéros, antécédents), vérifier que les solutions sont dans $\mathcal{D}(f)$.

obligatoire $\text{nombre sous la racine}\ge 0$ (et non $>0$).

même si une simplification algébrique est possible, les valeurs interdites du dénominateur restent interdites dans l'expression initiale.

$\frac{f}{g}$ : on doit enlever aussi les $x$ tels que $g(x)=0$.

$\mathcal{D}(g\circ f)$ n'est pas toujours $\mathcal{D}(f)\cap \mathcal{D}(g)$ : il faut que $f(x)$ tombe dans $\mathcal{D}(g)$.

• $f^{-1}(\{y\})$ = ensemble des antécédents de $y$ (peut avoir 0, 1 ou plusieurs éléments).
• $f^{-1}$ (fonction réciproque) n'existe que si $f$ est bijective (sur les ensembles considérés).

si on restreint le domaine (ex. $x^2$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$), on peut rendre une fonction bijective et obtenir une réciproque (ex. $\sqrt{x}$).

attention au signe à l'intérieur :

Je sais définir une fonction $f:A\to B$ et lire $f(x)$.

Je sais déterminer $\mathcal{D}(f)$ (fractions, racines, logarithmes si présents).

Je sais calculer une image $f(a)$ et trouver des antécédents en résolvant $f(x)=y_0$.

Je sais interpréter $\mathrm{Im}(f)$ et $f^{-1}(\{y\})$.

Je sais utiliser le test de la droite verticale.

Je sais trouver les zéros ($f(x)=0$) et $f(0)$ quand c'est défini.

Je sais faire $f+g$, $f-g$, $fg$, $\frac{f}{g}$ et leurs domaines.

Je sais calculer une composée $g\circ f$ et son domaine.

Je sais reconnaître quand une réciproque existe (bijection).

Je sais déterminer $f^{-1}$ en résolvant $y=f(x)$ en $x$.

Je sais relier le graphe de $f^{-1}$ à la symétrie par rapport à $y=x$.

Je sais décrire les transformations : $f(x)+c$, $f(x-c)$, $cf(x)$, $f(-x)$, $|f(x)|$.