Fonctions trigonométriques

cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon $1$, orienté dans le sens anti-horaire.

un réel $x$ mesure un angle sur le cercle (on peut ajouter $2\pi$ sans changer le point).

au réel $x$, on associe $M(x)$ sur le cercle unité.

• Amplitude : $A=|a|$.
• Période : $T=\frac{2\pi }{|b|}$.
• Décalage horizontal (phase) : $x_0=-\frac{c}{b}$ (si $b\ne 0$).
• Décalage vertical : $d$ (axe médian $y=d$).

$180^{\circ }=\pi$ rad, donc $x^{\circ }=x\cdot \frac{\pi }{180}$ rad.

sur le cercle de rayon $1$, l’angle $x$ (en rad) est égal à la longueur d’arc interceptée.

(déterminations principales) :

• Arcsinus : $\arcsin :[-1,1]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, inverse de $\sin$ restreinte à $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.
• Arccosinus : $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$, inverse de $\cos$ restreinte à $[0,\pi ]$.
• Arctangente : $\arctan :\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, inverse de $\tan$ restreinte à $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

$\arcsin (x)$ est parfois notée ${\sin }^{-1}(x)$, mais ce n’est pas $\frac{1}{\sin x}$.

si $f$ est bijective sur un intervalle $I$, alors $f^{-1}$ est définie sur $f(I)$ et les graphes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à $y=x$.

$x\in \mathbb{R}$) :

(si $\cos x\ne 0$) :

(angles en radians) :

(tout $x$) :

(utiles pour simplifier / prouver) :

(très fréquents) :

(avec $x$ en radians) :

si $u=u(x)$,

• Tangente d’une somme/différence : (là où c’est défini) :

• Identités de demi-angle : (utiles en limites/simplifications) :

• Inégalités (sur $0<x<\frac{\pi }{2}$) :

• Limites remarquables (en radians) :
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.$$
• Conséquences pratiques : (si $u(x)\to 0$) :

• Formules d’inversion (déterminations principales) :
  $$\sin (\arcsin x)=x(x\in [-1,1]),\cos (\arccos x)=x(x\in [-1,1]),\tan (\arctan x)=x(x\in \mathbb{R}).$$

• Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques :
  $$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(|x|<1),(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(|x|<1),$$

• Règle générale (dérivée d’une réciproque) : si $f$ est bijective et dérivable, et si $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, alors

• Identifier $a$, $b$, $c$, $d$.
• Amplitude : $A=|a|$.
• Période : $T=\frac{2\pi }{|b|}$.
• Axe médian : $y=d$.
• Décalage horizontal : $x_0=-\frac{c}{b}$ (repère des points clés autour de $x_0$).

Tracer l’axe médian $y=d$ et les bandes $y=d\pm |a|$.

Calculer la période $T$ et repérer une « fenêtre » de longueur $T$.

Placer 5 points clés sur une période (tous espacés de $T/4$).

• Pour $\sin$ : sur une période, le motif est médian $\uparrow$ max $\downarrow$ médian $\downarrow$ min $\uparrow$ médian.
• Pour $\cos$ : sur une période, le motif est max $\downarrow$ médian $\downarrow$ min $\uparrow$ médian $\uparrow$ max.

Tenir compte du signe de $a$ (symétrie verticale si $a<0$).

Répéter périodiquement.

• Vérifier $m\in [-1,1]$ (sinus ne sort pas de cet intervalle).
• Résoudre d’abord $\sin \theta =m$ :

• Remplacer $\theta$ par $u(x)$ et résoudre chaque équation.

• Vérifier $m\in [-1,1]$.
• Résoudre $\cos \theta =m$ :

• Remplacer $\theta$ par $u(x)$ et résoudre.

• Pas de contrainte d’intervalle sur $m$.
• Résoudre $\tan \theta =m$ :

• Remplacer $\theta$ par $u(x)$ et résoudre.

degré » en $\sin x$ ou $\cos x$ :

• Mettre sous la forme $A(\sin x{)}^2+B\sin x+C=0$ (ou en $\cos x$).
• Poser $t=\sin x$ (ou $t=\cos x$), résoudre le trinôme en $t$.
• Garder seulement les solutions $t\in [-1,1]$.
• Pour chaque valeur de $t$, résoudre $\sin x=t$ (ou $\cos x=t$) avec les formules générales.

• Identifier la fonction extérieure ($\sin ,\cos ,\tan$) et l’intérieur $u(x)$.
• Appliquer la règle : dérivée extérieure évaluée en $u(x)$, fois $u^{\prime }(x)$.
• Simplifier (éventuellement avec ${\sin }^2+{\cos }^2=1$).

• Mettre sous la forme « quelque chose $\times \frac{\sin u}{u}$ » ou « quelque chose $\times \frac{\tan u}{u}$ » avec $u(x)\to 0$.
• Utiliser $\frac{\sin u}{u}\to 1$ et $\frac{\tan u}{u}\to 1$ (avec $u$ en radians).
• Terminer par une limite algébrique.

• Transformer : $1-\cos u=2{\sin }^2\left(\frac{u}{2}\right)$.
• Écrire

• Conclure : $\frac{1-\cos u}{u^2}\to \frac{1}{2}$.

• Repérer l’intervalle de valeurs principales :

• Ramener $x$ (par périodicité et angles associés) dans l’intervalle correspondant.
• Appliquer alors la relation $\arcsin (\sin x)=x$ (ou analogue) sur cet intervalle.

• Identifier $u(x)$ dans $\arcsin (u)$, $\arccos (u)$ ou $\arctan (u)$.
• Appliquer la chaîne :

• Vérifier les conditions de définition : $|u(x)|<1$ pour $\arcsin (u)$ et $\arccos (u)$ (et $u(x)\ne \pm 1$ pour la dérivabilité).

• $\cos x$ = abscisse du point $M(x)$ ; $\sin x$ = ordonnée du point $M(x)$.
• Le signe de $\sin x$ / $\cos x$ dépend du quadrant.

• $\sin$ et $\cos$ oscillent entre $-1$ et $1$, autour de $y=0$, et ont une période $2\pi$.
• $\tan$ a une période $\pi$ et des asymptotes verticales en $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
• Zéros : $\sin x=0\iff x=k\pi$ ; $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ; $\tan x=0\iff x=k\pi$.

• $|a|$ agrandit/rétrécit verticalement (amplitude), $a<0$ inverse le motif.
• $|b|$ comprime/étire horizontalement (période $T=\frac{2\pi }{|b|}$).
• $c$ décale horizontalement (phase) ; $d$ décale verticalement.

[Voir graphique dans la fiche complète]

Complément : graphes des fonctions réciproques (valeurs principales).

• $\sin$ est croissante sur $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ ; $\cos$ est décroissante sur $[0,\pi ]$ ; $\tan$ est croissante sur $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.
• Les graphes de $\sin$ (restreinte), $\cos$ (restreinte), $\tan$ (restreinte) et de leurs réciproques sont symétriques par rapport à $y=x$.

$f(x)=3\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.

• Amplitude : $A=|a|=3$.
• Période : $T=\frac{2\pi }{|b|}=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$. Points-clés sur une période (en partant de $x=0$) : pas $T/4=\pi$.

$\cos (2x)=-0.9$.

Posons $\theta =2x$. Alors $\cos \theta =-0.9$.

Complément : solutions sur un intervalle (ex. $[0,2\pi ]$).

• Calculer ${\theta }_0=\arccos (-0.9)\in (0,\pi )$.
• Sur $[0,4\pi ]$ (car $\theta =2x$), les solutions sont $\theta ={\theta }_0$ et $\theta =2\pi -{\theta }_0$, puis ajouter $2k\pi$ si besoin.
• Revenir à $x=\theta /2$ et ne garder que celles dans $[0,2\pi ]$.

$\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Posons $\theta =2x+\frac{\pi }{2}$. On résout $\sin \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

On sait que $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$.
Les solutions générales :

$g(x)=\sin (x^2)+2\cos (3x)$.

Complément : dérivée d’une fonction avec $\arcsin$.

Soit $h(x)=\arcsin (2x+1)$ (définie lorsque $-1\le 2x+1\le 1$, donc $x\in [-1,0]$).

les formules de dérivation et la période $2\pi$ se lisent naturellement en radians. Attention aux calculatrices (mode DEG/RAD).

$\tan x$ n’existe pas pour $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (asymptotes verticales).

dans $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, exiger $\cos x\ne 0$.

une équation trigonométrique a une infinité de solutions (ajout de $2k\pi$ ou $k\pi$).

$\sin \theta =m$ donne deux solutions par période (sauf cas limites $m=\pm 1$).

• Si $m\notin [-1,1]$, alors $\sin (\cdot )=m$ ou $\cos (\cdot )=m$ n’a aucune solution réelle.
• Pour $\sin x=\pm 1$ ou $\cos x=\pm 1$, il n’y a qu’une solution par période.

pour $f(x)=a\sin (bx+c)+d$,

• amplitude $=|a|$ (pas $a$),
• période $=\frac{2\pi }{|b|}$ (le signe de $b$ ne change pas la période),
• décalage horizontal $=-\frac{c}{b}$ (attention au signe).

si on pose $t=\sin x$ (ou $\cos x$), ne garder que $t\in [-1,1]$.

bien distinguer ${\sin }^{2}x$ (carré de $\sin x$) et $\sin (2x)$ (sinus de $2x$).

• Limites trigonométriques : : les limites ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ et ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ sont fausses en degrés (elles dépendent du facteur $\pi /180$). Toujours vérifier RAD/DEG.
• Piège sur $\arcsin (\sin x)$ : : ce n’est pas égal à $x$ pour tout $x$, car $\arcsin$ renvoie toujours une valeur dans $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.
• Même idée pour $\arccos (\cos x)$ : : la valeur renvoyée est toujours dans $[0,\pi ]$ (il faut « ramener » l’angle).
• Dérivabilité des inverses : : $\arcsin$ et $\arccos$ ne sont pas dérivables en $x=\pm 1$ (dénominateur $\sqrt{1-x^2}=0$).
• Résolution avec $\tan$ : : ne pas oublier les asymptotes et la périodicité $\pi$ (une famille : $\theta =\arctan (m)+k\pi$).

Je sais définir $\sin x$, $\cos x$ sur le cercle trigonométrique.

Je connais domaines et images de $\sin$, $\cos$, $\tan$.

Je connais périodes : $2\pi$ pour $\sin /\cos$, $\pi$ pour $\tan$.

Je sais les parités : $\sin$ impaire, $\cos$ paire, $\tan$ impaire.

Je connais les valeurs remarquables ($0,\pi /6,\pi /4,\pi /3,\pi /2$).

Je sais utiliser ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ et $\tan x=\sin x/\cos x$.

Je sais déterminer amplitude $|a|$ et période $2\pi /|b|$ pour $a\sin (bx+c)+d$ (ou $\cos$).

Je sais esquisser une sinusoïde transformée (axe médian, bandes, points-clés).

Je sais résoudre $\sin (u)=m$ et $\cos (u)=m$ (deux familles) et $\tan (u)=m$ (une famille).

Je n’oublie pas d’ajouter $2k\pi$ (ou $k\pi$) aux solutions.

Je sais dériver $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ et appliquer la règle de la chaîne.

Je vérifie toujours le mode RAD/DEG de la calculatrice selon le contexte.

Je connais les fonctions $\arcsin ,\arccos ,\arctan$ (domaines, images, valeurs principales).

Je sais simplifier $\arcsin (\sin x)$, $\arccos (\cos x)$ en ramenant $x$ dans l’intervalle de valeurs principales.

Je connais les limites : $\frac{\sin x}{x}\to 1$, $\frac{\tan x}{x}\to 1$, $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ (en radians).

Je sais utiliser $1-\cos x=2{\sin }^2(x/2)$ pour simplifier des limites.

Je sais dériver $\arcsin (u)$, $\arccos (u)$, $\arctan (u)$ avec la règle de la chaîne et vérifier les conditions.