Analyse I · niveau renforcé

Dérivée et calculs

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Taux d'accroissement

entre $a$ et $a + h$ ( $h \neq = 0$ ) :

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Nombre dérivé en $a$

(si la limite existe et est finie) :

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} (\overset{e}{ˊ} quivalent \overset{a}{ˋ} x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}) .

Dérivable en $a$

la fonction $f$ est dérivable en $a$ si $f^{'} (a)$ existe.

Fonction dérivée

$f^{'}$ associe à chaque $x$ où $f$ est dérivable la valeur $f^{'} (x)$ .

Interprétation géométrique

$f^{'} (a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y = f (x)$ au point $A (a, f (a))$ .

Notations

$f^{'} (x)$ , $y^{'}$ , $\frac{d y}{d x}$ (si $y = f (x)$ ).

Remarques

Si $f$ n'est pas définie en $a$ , alors $f^{'} (a)$ n'a pas de sens.
$f^{'} (a)$ peut ne pas exister (point anguleux, discontinuité, tangente verticale, etc.).

Dérivées à gauche et à droite

si $f$ est définie sur un intervalle contenant $a$ ,

f_{-}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}, f_{+}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} .

f

est dérivable en

a

⟺

f_{-}^{'} (a)

f_{+}^{'} (a)

existent (finies) et sont égales.

Lien dérivabilité $\Rightarrow$ continuité

si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Tangente verticale

si le taux d'accroissement tend vers $\pm \infty$ , on dit que la pente est ``infinie'' et la tangente est verticale (la dérivée au sens classique n'existe pas).

Vocabulaire utile

Point anguleux / coin : pentes à gauche et à droite différentes (ex. $∣ x ∣$ en $0$ ).
Cuspide : pentes à gauche/droite infinies de signes opposés (hors calcul standard).
Dérivable sur un intervalle : $f^{'} (x)$ existe pour tout $x$ de l'intervalle (souvent ouvert).

🧮

Formules essentielles

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Définition (limite)

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Équation de la tangente en $a$

(si $f$ est dérivable en $a$ ) :

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Forme ``rapide'' équivalente

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

(même formule, à utiliser sans hésiter).

Approximation linéaire

pour $h$ petit,

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .

Règles de calcul (avec conditions) — Puissance

si $n \in Z$ (et plus généralement $n \in Q$ là où c'est défini),

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} .

Constante

$(c)^{'} = 0$ .

Multiplication par une constante

$(c g (x))^{'} = c g^{'} (x)$ .

Somme / différence

$(g (x) \pm h (x))^{'} = g^{'} (x) \pm h^{'} (x)$ .

Produit

$(g (x) h (x))^{'} = g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)$ .

Quotient

si $h (x) \neq = 0$ ,

(\frac{g ( x )}{h ( x )})^{'} = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}} .

Composition / « parenthèse » (règle de la chaîne)

si $u (x)$ est dérivable et $n \in Z$ ,

((u (x))^{n})^{'} = n (u (x))^{n - 1} u^{'} (x) .

Règle de la chaîne générale

si $f (x) = g (h (x))$ ,

f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) .

Produit de trois fonctions

si $f (x) = p (x) q (x) r (x)$ ,

f^{'} (x) = p^{'} (x) q (x) r (x) + p (x) q^{'} (x) r (x) + p (x) q (x) r^{'} (x) .

Cas très utiles

(en réécrivant en puissances) :

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}, (x)^{'} = \frac{1}{2 x} (x > 0), (\frac{1}{u ( x )})^{'} = - \frac{u ^{'} ( x )}{( u ( x ) ) ^{2}} (u (x) \neq = 0) .

Valeur absolue

∣ x ∣ = {x - x (x \geq 0), (x < 0), (∣ x ∣)^{'} = {1 - 1 (x > 0), (x < 0), et ∣ x ∣ n’est pas d \overset{e}{ˊ} rivable en 0.

Puissance rationnelle

si $r \in Q$ et $u (x)^{r}$ est défini,

((u (x))^{r})^{'} = r (u (x))^{r - 1} u^{'} (x)

(en respectant le domaine : racines, dénominateurs, etc.)

🛠️

Méthodes

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Pour dériver une expression algébrique (polynômes, fractions, racines)

Simplifier si possible (développer/factoriser quand utile, réduire).
Réécrire les racines et fractions en puissances :

x = x^{1/2}, \frac{1}{x ^{k}} = x^{- k} .

Identifier la structure : somme, produit, quotient, puissance de parenthèse.
Appliquer les règles dans l'ordre (sommes, puis produit/quotient, puis chaîne).
Simplifier la dérivée (forme factorisée ou réduite, selon le besoin).

Pour trouver l'équation de la tangente en $x = a$

Calculer $f^{'} (x)$ .
Calculer la pente $m = f^{'} (a)$ .
Calculer le point de contact $A (a, f (a))$ .
Écrire la tangente :

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) (ou y = m x + h apr \overset{e}{ˋ} s mise sous forme) .

Astuce : si $y = m x + h$ , alors $h = f (a) - m a$ .

Pour trouver où la pente vaut une valeur donnée $m_{0}$

Calculer $f^{'} (x)$ .
Résoudre l'équation $f^{'} (x) = m_{0}$ (en tenant compte du domaine).
Pour chaque solution $x = a$ , on peut obtenir le point $A (a, f (a))$ et (si demandé) l'équation de la tangente.

Pour trouver les tangentes horizontales

Résoudre $f^{'} (x) = 0$ (avec le domaine).
Les abscisses trouvées donnent des points où la tangente est horizontale.

Pour étudier la dérivabilité en un point ``délicat''

Vérifier que $f (a)$ existe (fonction définie en $a$ ).
Calculer la dérivée à gauche $f_{-}^{'} (a)$ et à droite $f_{+}^{'} (a)$ (ou les taux d'accroissement correspondants).
Conclure :

f d \overset{e}{ˊ} rivable en a ⟺ f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a) \in R .

Si l'une des limites vaut $\pm \infty$ : pas de dérivée (mais tangente verticale possible).

Pour dériver par la définition

Écrire $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .
Simplifier (factoriser, rationaliser si racine).
Faire tendre $h$ vers $0$ et conclure.

Pour une composition $f (x) = g (h (x))$

Identifier la fonction interne $h (x)$ .
Dériver l'externe $g$ puis remplacer l'argument par $h (x)$ : $g^{'} (h (x))$ .
Multiplier par la dérivée interne $h^{'} (x)$ .

📈

Interprétations et graphiques

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Pente et variations

$f^{'} (a) > 0$ : la tangente monte à $x = a$ (fonction localement croissante).
$f^{'} (a) < 0$ : la tangente descend à $x = a$ (fonction localement décroissante).
$f^{'} (a) = 0$ : tangente horizontale (souvent un extremum, mais pas toujours).

Sens ``physique''

si $f (t)$ est une position, alors $f^{'} (t)$ est une vitesse instantanée (taux de variation instantané).

Lien sécante $\to$ tangente

pente de la s \overset{e}{ˊ} cante = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} h \to 0 f^{'} (a) = pente de la tangente .

Interprétation ``linéaire''

près de $a$ , la courbe ressemble à une droite :

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Cette idée explique la formule de la tangente et l'approximation

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h

Continuité vs dérivabilité

Dérivable $\Rightarrow$ continue.
Continue $⇏$ dérivable (ex. $∣ x ∣$ en $0$ ).

Dérivées à gauche/droite

Si $f_{-}^{'} (a) \neq = f_{+}^{'} (a)$ : la courbe a un coin en $a$ (pas de tangente unique).
Si $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a)$ : tangente unique de pente $f^{'} (a)$ .

Graphe (exemple)

parabole $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ et tangente en $a = 1$ .

Graphe (exemple)

non-dérivabilité, $f (x) = ∣ x ∣$ (coin en $0$ ).

✏️

Exemples-types

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Tangente à une parabole (règles + équation)

Soit $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ . Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 1$ .

Dérivée :

f^{'} (x) = (x^{2})^{'} - (3 x)^{'} - 4^{'} = 2 x - 3 - 0 = 2 x - 3.

Pente en $a = 1$ :

f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1.

Point de contact :

f (1) = 1 - 3 - 4 = - 6 \Rightarrow A (1, - 6) .

Tangente :

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = - 6 - 1 (x - 1) = - x - 5.

Vérification par la définition : en posant $a = 1$ ,

\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 3 ( 1 + h ) - 4 - ( - 6 )}{h} = \frac{h ^{2} - h}{h} = h - 1 h \to 0 - 1.

Dérivée d'un quotient (attention aux règles)

Soit $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 5}$ . Calculer $f^{'} (x)$ puis la pente au point $x = 1$ .

Posons $g (x) = 2 x - 3$ et $h (x) = x - 5$ (domaine : $x \neq = 5$ ).

g^{'} (x) = 2, h^{'} (x) = 1.

Règle du quotient :

f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{( h ( x ) ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 5 ) - ( 2 x - 3 ) \cdot 1}{( x - 5 ) ^{2}} = \frac{2 x - 10 - 2 x + 3}{( x - 5 ) ^{2}} = - \frac{7}{( x - 5 ) ^{2}} .

Pente en $x = 1$ :

f^{'} (1) = - \frac{7}{( 1 - 5 ) ^{2}} = - \frac{7}{16} .

Tangente en $x = 1$ : $f (1) = \frac{2 - 3}{1 - 5} = \frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{1}{4} - \frac{7}{16} (x - 1) .$
Lecture rapide : $f^{'} (x) < 0$ pour tout $x \neq = 5$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante sur $(- \infty, 5)$ et sur $(5, + \infty)$ .

Racine + chaîne (domaine !)

Soit $f (x) = x^{2} + 5 x - 4$ . Calculer $f^{'} (x)$ et préciser le domaine de dérivabilité.

Domaine de définition : il faut $x^{2} + 5 x - 4 \geq 0$ .

x^{2} + 5 x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 5 \pm 25 + 16}{2} = \frac{- 5 \pm 41}{2} .

Comme le coefficient de

x^{2}

est positif,

x^{2} + 5 x - 4 \geq 0

en dehors des racines :

D_{f} = (- \infty, \frac{- 5 - 41}{2}] \cup [\frac{- 5 + 41}{2}, + \infty) .

Pour dériver, on écrit $f (x) = (u (x))^{1/2}$ avec $u (x) = x^{2} + 5 x - 4$ .

u^{'} (x) = 2 x + 5.

Chaîne :

f^{'} (x) = \frac{1}{2} (u (x))^{- 1/2} u^{'} (x) = \frac{2 x + 5}{2 x ^{2} + 5 x - 4} .

Domaine de dérivabilité : il faut strictement $x^{2} + 5 x - 4 > 0$ (dénominateur $\neq = 0$ ) :

D_{f^{'}} = (- \infty, \frac{- 5 - 41}{2}) \cup (\frac{- 5 + 41}{2}, + \infty) .

Aux bornes du domaine : lorsque $x \to \frac{- 5 \pm 41}{2}$ en restant dans $D_{f^{'}}$ ,

x^{2} + 5 x - 4 \to 0^{+} \Rightarrow f^{'} (x) \to \pm \infty

(pente « infinie » : tangente verticale).

Trouver où la tangente est parallèle à une droite

Soit $f (x) = x^{3} - x^{2} - 5 x + 2$ . On veut les points où la tangente est parallèle à la droite passant par $A (- 3, 2)$ et $B (1, 14)$ .

Pente de la droite $(A B)$ :

m_{A B} = \frac{14 - 2}{1 - ( - 3 )} = \frac{12}{4} = 3.

Dérivée :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5.

Parallélisme : $f^{'} (x) = 3$ .

3 x^{2} - 2 x - 5 = 3 \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x - 8 = 0.

Résolution :

Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 4 + 96 = 100, x = \frac{2 \pm 10}{6} .

Donc

x_{1} = \frac{12}{6} = 2, x_{2} = \frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3} .

Conclusion : la tangente est parallèle à $(A B)$ aux abscisses $x = 2$ et $x = - \frac{4}{3}$ (on peut ensuite calculer $f (x)$ et l'équation de chaque tangente si demandé).
Equations des tangentes : $f (2) = 8 - 4 - 10 + 2 = - 4 \Rightarrow y = - 4 + 3 (x - 2) = 3 x - 10,$

f (- \frac{4}{3}) = \frac{122}{27} \Rightarrow y = \frac{122}{27} + 3 (x + \frac{4}{3}) = 3 x + \frac{230}{27} .

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Domaine d'abord

une dérivée peut imposer des conditions plus fortes (ex. $u (x)$ : $u (x) > 0$ pour $f^{'} (x)$ ).

Ne pas confondre

f^{'} (a) (un nombre) et f^{'} (x) (une fonction) .

Erreur classique

$(g h)^{'} \neq = g^{'} h^{'}$ (il faut $g^{'} h + g h^{'}$ ).

Quotient

ne pas oublier le carré du dénominateur et le signe ``moins'' :

(\frac{g}{h})^{'} = \frac{g ^{'} h - g h ^{'}}{h ^{2}} .

Chaîne oubliée

pour $(u (x))^{n}$ , ne pas oublier le facteur $u^{'} (x)$ .

Réécritures utiles

\frac{1}{x ^{k}} = x^{- k} \Rightarrow (x^{- k})^{'} = - k x^{- k - 1} .

Dériver puis remplacer

on ne remplace pas $x = a$ à l'intérieur avant d'avoir calculé $f^{'} (x)$ .

Non-dérivabilité

angle (pentes à gauche/droite différentes), discontinuité, tangente verticale (pente ``infinie'').

Continuité $⇏$ dérivabilité

une fonction peut être continue mais non dérivable (ex. $∣ x ∣$ en $0$ ).

Dérivées à gauche/droite

pour une fonction définie par morceaux, il faut comparer $f_{-}^{'} (a)$ et $f_{+}^{'} (a)$ au point de raccord.

Tangente verticale

si le taux d'accroissement tend vers $\pm \infty$ , il n'y a pas de dérivée finie (attention : on peut quand même parler de tangente verticale).

Valeur absolue

pour $∣ u (x) ∣$ , penser à la définition par morceaux ou à l'étude du signe de $u (x)$ (et aux points où $u (x) = 0$ ).

Rationnels et racines

si $u (x)^{p / q}$ , ne pas oublier :

$q$ pair $\Rightarrow$ $u (x) \geq 0$ pour que la fonction soit définie (en réel).
Pour la dérivée, souvent $u (x) > 0$ si une racine est au dénominateur.

✅

À retenir

▾

Je sais écrire la définition : $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .

Je sais calculer une dérivée par les règles (somme, produit, quotient, puissance, chaîne).

Je réécris racines et fractions en puissances avant de dériver.

Je vérifie le domaine (fonction puis dérivée).

Je sais trouver la pente en $a$ : $m = f^{'} (a)$ .

Je sais écrire la tangente : $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ .

Je sais résoudre $f^{'} (x) = m_{0}$ pour une pente imposée.

Je sais résoudre $f^{'} (x) = 0$ pour les tangentes horizontales.

Je fais attention aux signes et au carré du dénominateur dans la règle du quotient.

Je sais utiliser la règle de la chaîne sous la forme $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$ .

Je sais vérifier la dérivabilité en un point avec $f_{-}^{'} (a)$ et $f_{+}^{'} (a)$ (fonctions par morceaux, $∣ x ∣$ , etc.).

Je me souviens : dérivable $\Rightarrow$ continue, mais continue $⇏$ dérivable.

Je sais utiliser l'approximation $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h$ pour interpréter la dérivée.

🃏 Étape suivante Flashcards — Analyse I Mémorise les définitions et formules de ce chapitre, carte par carte. →

Dérivée et calculs

Définition

Taux d'accroissement

Nombre dérivé en a

Dérivable en a

Fonction dérivée

Interprétation géométrique

Notations

Remarques

Dérivées à gauche et à droite

Lien dérivabilité ⇒ continuité

Tangente verticale

Vocabulaire utile

Formules essentielles

Définition (limite)

Équation de la tangente en a

Forme ``rapide'' équivalente

Approximation linéaire

Règles de calcul (avec conditions) — Puissance

Constante

Multiplication par une constante

Somme / différence

Produit

Quotient

Composition / « parenthèse » (règle de la chaîne)

Règle de la chaîne générale

Produit de trois fonctions

Cas très utiles

Valeur absolue

Puissance rationnelle

Méthodes

Pour dériver une expression algébrique (polynômes, fractions, racines)

Pour trouver l'équation de la tangente en x=a

Pour trouver où la pente vaut une valeur donnée m0​

Pour trouver les tangentes horizontales

Pour étudier la dérivabilité en un point ``délicat''

Pour dériver par la définition

Pour une composition f(x)=g(h(x))

Interprétations et graphiques

Pente et variations

Sens ``physique''

Lien sécante → tangente

Interprétation ``linéaire''

Continuité vs dérivabilité

Dérivées à gauche/droite

Graphe (exemple)

Graphe (exemple)

Exemples-types

Tangente à une parabole (règles + équation)

Dérivée d'un quotient (attention aux règles)

Racine + chaîne (domaine !)

Trouver où la tangente est parallèle à une droite

Pièges et cas particuliers

Domaine d'abord

Ne pas confondre

Erreur classique

Quotient

Chaîne oubliée

Réécritures utiles

Dériver puis remplacer

Non-dérivabilité

Continuité ⇏ dérivabilité

Dérivées à gauche/droite

Tangente verticale

Valeur absolue

Rationnels et racines

À retenir

Nombre dérivé en $a$

Dérivable en $a$

Lien dérivabilité $\Rightarrow$ continuité

Équation de la tangente en $a$

Pour trouver l'équation de la tangente en $x = a$

Pour trouver où la pente vaut une valeur donnée $m_{0}$

Pour une composition $f (x) = g (h (x))$

Lien sécante $\to$ tangente

Continuité $⇏$ dérivabilité