Croissance et étude de fonctions

$\mathcal{D}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\text{a un sens}\}$.

• $f$ croissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$.
• $f$ strictement croissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$.
• $f$ décroissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$.
• $f$ strictement décroissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$.

en $a\in \mathcal{D}(f)$ :

• maximum local : si $\exists$ voisinage $V$ de $a$ tel que $\forall x\in V,f(a)\ge f(x)$.
• minimum local : si $\exists$ voisinage $V$ de $a$ tel que $\forall x\in V,f(a)\le f(x)$.

$a\in \mathcal{D}(f)$ tel que $f^{\prime }(a)=0$ ou $f^{\prime }(a)$ n'existe pas.

$f^{\prime }(a)=0$ mais $a$ n'est ni un maximum ni un minimum (la dérivée ne change pas de signe).

$f^{\prime }(a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point d'abscisse $a$.

si $f^{\prime }$ est dérivable, on note $f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$.

• $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe « s'incurve vers le haut » (les pentes des tangentes augmentent).
• $f$ est concave sur $I$ si sa courbe « s'incurve vers le bas » (les pentes des tangentes diminuent).
• Lecture pratique : convexe $\iff$ la courbe est au-dessus de ses tangentes ; concave $\iff$ la courbe est en dessous de ses tangentes.

un point $A(a,f(a))$ où la courbe change de convexité (convexe $\leftrightarrow$ concave). Souvent, la courbe traverse sa tangente en ce point.

si $f$ est dérivable autour de $a$,

résoudre $f^{\prime }(x)=0$ donne des candidats aux extrema (pas une garantie).

• Si $f^{\prime }(x)=k\cdot (x-a)(x-b)\cdots$, le signe se lit avec un tableau de signes.
• Un facteur $(x-a{)}^2$ est toujours $\ge 0$ et ne change pas de signe en $a$.

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ :

si $f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum local en $a$, alors $f^{\prime }(a)=0$.

(sur un intervalle $I$) :

• Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de $f^{\prime \prime }$ autour de $a$ et à la continuité de $f$ en $a$.
• $f^{\prime \prime }(a)=0$ est souvent une condition nécessaire (si $f^{\prime \prime }$ existe), mais pas suffisante.
• $f^{\prime \prime }$ peut aussi ne pas exister en $a$ et changer de signe (si $f$ reste continue en $a$) : $a$ peut alors être un point d'inflexion.

• Déterminer $\mathcal{D}(f)$ (exclure les valeurs interdites).
• Calculer $f^{\prime }(x)$.
• Résoudre $f^{\prime }(x)=0$ (et relever où $f^{\prime }$ n'existe pas) : $\Rightarrow$ points critiques.
• Faire un tableau de signes de $f^{\prime }$ sur $\mathcal{D}(f)$ (en séparant les intervalles).
• Conclure : $f^{\prime }>0\Rightarrow$ $f$ croît ; $f^{\prime }<0\Rightarrow$ $f$ décroît.

• Trouver les points critiques (zéros de $f^{\prime }$ et points où $f^{\prime }$ n'existe pas).
• Étudier le changement de signe de $f^{\prime }$ de part et d'autre de chaque point critique.
• Conclure max/min/replat, puis calculer l'ordonnée $f(a)$ pour donner les coordonnées.

• Ligne $x$ : placer les bornes (et éventuelles ruptures du domaine).
• Ligne $f^{\prime }(x)$ : indiquer le signe sur chaque intervalle et les zéros.
• Ligne $f(x)$ : flèches $\nearrow$ ou $\searrow$ et valeurs $f(a)$ aux points clés.

(polynômes, produits) :

• Factoriser $f^{\prime }(x)$ au maximum.
• Zéros $\Rightarrow$ coupures du tableau.
• Multiplier les signes des facteurs pour obtenir le signe de $f^{\prime }$.

$f^{\prime }(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$ :

• Exclure $D(x)=0$ (coupures $\Rightarrow$ intervalles séparés).
• Comme $D(x{)}^2>0$ si c'est un carré, le signe dépend souvent seulement de $N(x)$.
• Conclure les variations sur chaque intervalle du domaine.

• Vérifier que $f$ est au moins deux fois dérivable sur les intervalles considérés (ou repérer où $f^{\prime \prime }$ n'existe pas).
• Calculer $f^{\prime \prime }(x)$.
• Résoudre $f^{\prime \prime }(x)=0$ et relever où $f^{\prime \prime }$ n'existe pas : $\Rightarrow$ candidats aux changements de convexité.
• Faire un tableau de signes de $f^{\prime \prime }$ sur $\mathcal{D}(f)$ (en séparant les intervalles).
• Conclure : $f^{\prime \prime }>0\Rightarrow$ $f$ convexe ; $f^{\prime \prime }<0\Rightarrow$ $f$ concave.

• Trouver les candidats : $f^{\prime \prime }(a)=0$ et/ou $f^{\prime \prime }$ n'existe pas en $a$.
• Vérifier que $f$ est continue en $a$.
• Vérifier que $f^{\prime \prime }$ change de signe autour de $a$.
• Conclure : point d'inflexion en $(a,f(a))$. (Sinon : pas de point d'inflexion.)

• Résoudre $f^{\prime }(x)=0$ pour obtenir les points stationnaires.
• Calculer $f^{\prime \prime }(a)$ pour chaque point $a$ trouvé.
• Conclure : $f^{\prime \prime }(a)>0\Rightarrow$ min, $f^{\prime \prime }(a)<0\Rightarrow$ max, $f^{\prime \prime }(a)=0\Rightarrow$ non concluant $\Rightarrow$ revenir au signe de $f^{\prime }$.

• Tangente montante $\Rightarrow f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f$ augmente.
• Tangente descendante $\Rightarrow f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f$ diminue.
• Tangente horizontale $\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$ (candidat : extremum ou replat).

• Les zéros de $f^{\prime }$ correspondent aux endroits où la courbe de $f$ a une tangente horizontale.
• Le signe de $f^{\prime }$ se lit sur son graphe : au-dessus de l'axe $x$ (positif) / en dessous (négatif).

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ : les pentes des tangentes augmentent quand $x$ augmente $\Rightarrow$ la courbe s'incurve vers le haut $\Rightarrow$ convexe.
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ : les pentes des tangentes diminuent quand $x$ augmente $\Rightarrow$ la courbe s'incurve vers le bas $\Rightarrow$ concave.
• $f^{\prime \prime }$ change de signe : la courbe change de convexité $\Rightarrow$ candidat à un point d'inflexion.

• Sur un intervalle convexe, la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes.
• Sur un intervalle concave, la courbe de $f$ est en dessous de ses tangentes.
• Au point d'inflexion (souvent), la courbe traverse sa tangente.

Exemple de graphe (fonction et dérivée) : $f(x)=x^2-2x-8$ et $f^{\prime }(x)=2x-2$.

Ici, $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$. La courbe de $f$ a une tangente horizontale en $x=1$.

$f^{\prime }(x)<0$ pour $x<1$ $\Rightarrow f$ décroît, puis $f^{\prime }(x)>0$ pour $x>1$ $\Rightarrow f$ croît : donc minimum en $x=1$.

Exemple de graphe (convexité et point d'inflexion) : $g(x)=x^3$ et $g^{\prime \prime }(x)=6x$.

$g^{\prime \prime }(x)=6x$ est négative si $x<0$ (courbe concave) et positive si $x>0$ (courbe convexe).

$g^{\prime \prime }$ change de signe en $x=0$ et $g$ est continue $\Rightarrow$ point d'inflexion en $(0;0)$.

Trouver le minimum d'une fonction quadratique en annulant la dérivée et dresser le tableau de variation.

Soit $f(x)=3x^2-3x+7$, $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$.

Dérivée : $f^{\prime }(x)=6x-3$.

Zéro : $6x-3=0⟺x=\frac{1}{2}$.

Signe : $f^{\prime }(x)<0$ si $x<\frac{1}{2}$, et $f^{\prime }(x)>0$ si $x>\frac{1}{2}$.

Variations : $f$ décroît sur $(-\infty ,\frac{1}{2}]$ puis croît sur $[\frac{1}{2},+\infty )$.

Ordonnée du minimum :

$\Rightarrow$ minimum local (et global) : $\min \left(\frac{1}{2};\frac{25}{4}\right)$.

$f^{\prime \prime }(x)=6>0$ sur $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $f$ est convexe et le point stationnaire $x=\frac{1}{2}$ est bien un minimum.

Soit $f(x)=(x-2)(x+3{)}^3$, $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$.

Dérivée (produit) :

Points critiques : $x=-3$ (double racine) et $x=\frac{3}{4}$.

Signe : $(x+3{)}^2\ge 0$ ne change pas de signe ; donc le signe de $f^{\prime }$ est celui de $(4x-3)$.

Variations : $f$ décroît sur $(-\infty ,\frac{3}{4}]$, puis croît sur $[\frac{3}{4},+\infty )$.

Interprétation :

• En $x=-3$, $f^{\prime }(-3)=0$ mais pas de changement de signe $\Rightarrow$ replat ; $f(-3)=(-5)\cdot 0=0$, donc replat $(-3;0)$.
• En $x=\frac{3}{4}$, $f^{\prime }$ passe de $-$ à $+$ $\Rightarrow$ minimum :

• $f^{\prime \prime }(x)=6(x+3)(2x+1)$.
• $f^{\prime \prime }(x)=0⟺x=-3\text{ou}x=-\frac{1}{2}$.
• $f^{\prime \prime }$ change de signe en $-3$ et en $-\frac{1}{2}$ (facteurs de degré 1) $\Rightarrow$ points d'inflexion en $(-3,f(-3))=(-3,0)$ et en $(-\frac{1}{2},f(-\frac{1}{2}))$.
• En $x=-3$, on observe un cas classique : tangente horizontale et point d'inflexion (replat).

Soit $f(x)=\frac{3x+1}{2x-3}$. Domaine : $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus \{\frac{3}{2}\}$.

Dérivée (quotient) :

Comme $(2x-3{)}^2>0$ sur $\mathcal{D}(f)$, on a $f^{\prime }(x)<0$ sur tout $\mathcal{D}(f)$.

Conclusion :

• $f$ est strictement décroissante sur $(-\infty ,\frac{3}{2})$ et sur $(\frac{3}{2},+\infty )$.
• Il n'y a aucun extremum (puisque $f^{\prime }$ ne s'annule jamais).

• $f^{\prime \prime }(x)=\frac{44}{(2x-3{)}^3}$.
• Sur $(-\infty ,\frac{3}{2})$, $(2x-3{)}^3<0\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)<0$ : $f$ est concave.
• Sur $(\frac{3}{2},+\infty )$, $(2x-3{)}^3>0\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)>0$ : $f$ est convexe.
• Pas de point d'inflexion en $x=\frac{3}{2}$ car $f$ n'est pas définie (discontinuité).

$\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ (car $x^2+1>0$).

Dérivée :

Zéros : $1-x^2=0⟺x=\pm 1$.

Signe : $(x^2+1{)}^2>0$, donc le signe dépend de $1-x^2$ :

Variations : décroît sur $(-\infty ,-1]$, croît sur $[-1,1]$, décroît sur $[1,+\infty )$.

Extrema :

• $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}$.
• Les candidats : $2x(x^2-3)=0⟺x=0,\pm \sqrt{3}$.
• Comme $(x^2+1{)}^3>0$, le signe de $f^{\prime \prime }$ est celui de $x(x^2-3)$, qui change de signe en $0$ et en $\pm \sqrt{3}$.
• Donc points d'inflexion en $(0,f(0))=(0,0)$ et en $(\pm \sqrt{3},f(\pm \sqrt{3}))=\left(\pm \sqrt{3},\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

une fonction peut être croissante sur $(-\infty ,a)$ et $(a,+\infty )$ mais pas sur $\mathbb{R}$ si $a\notin \mathcal{D}(f)$.

$f^{\prime }(a)=0$ est seulement un candidat. Il faut regarder le changement de signe de $f^{\prime }$.

si $f^{\prime }(x)$ contient $(x-a{)}^2$, le signe ne change pas en $a$ $\Rightarrow$ souvent replat.

ce sont aussi des points critiques (cuspide, tangente verticale, etc.). On étudie la variation de part et d'autre.

en présence d'une valeur interdite (ex. rationnelles), faire deux tableaux (ou un tableau avec une coupure).

ne pas oublier de placer tous les zéros (numérateur, facteurs, etc.) et les valeurs interdites.

un extremum local n'est pas forcément global (surtout sur un domaine non borné).

sur un intervalle fermé $[a,b]$, un maximum/minimum global peut être atteint en $a$ ou $b$ même si $f^{\prime }(a)\ne 0$.

• Il faut un changement de signe de $f^{\prime \prime }$ autour de $a$ (et $f$ continue en $a$).
• Exemple-type : une fonction peut avoir $f^{\prime \prime }(a)=0$ et rester convexe des deux côtés $\Rightarrow$ pas d'inflexion.

• Même si « la concavité semble changer » d'un côté à l'autre, s'il y a une rupture (fonction non continue), on ne parle pas de point d'inflexion.

• On ne conclut avec $f^{\prime \prime }(a)$ que si ${\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{a})=0$ et si $f^{\prime \prime }(a)$ existe.
• Si $f^{\prime \prime }(a)=0$, ne pas conclure : revenir au signe de $f^{\prime }$ (ou factoriser, ou étudier plus finement).

• Ne pas confondre « convexe/concave » avec « croissante/décroissante » : ce sont deux informations indépendantes.
• Penser : croissance $\leftrightarrow f^{\prime }$ ; courbure $\leftrightarrow f^{\prime \prime }$.

Je sais déterminer $\mathcal{D}(f)$ avant toute étude.

Je calcule correctement $f^{\prime }(x)$ (produit / quotient si besoin).

Je trouve les points critiques : $f^{\prime }(x)=0$ et/ou $f^{\prime }$ n'existe pas.

Je fais un tableau de signes de $f^{\prime }$ sur chaque intervalle du domaine.

Je conclus les variations : $f^{\prime }>0\Rightarrow \nearrow$, $f^{\prime }<0\Rightarrow \searrow$.

Je teste le changement de signe de $f^{\prime }$ pour décider max/min/replat.

Je calcule les coordonnées des extrema : $(a,f(a))$.

Je vérifie la cohérence graphique (pentes / sens de variation).

Pour une rationnelle : je sépare bien les intervalles autour des valeurs interdites.

Je n'affirme pas « extremum » seulement parce que $f^{\prime }(a)=0$.

Je sais calculer $f^{\prime \prime }(x)$ quand c'est pertinent.

Je sais relier $f^{\prime \prime }$ au sens de variation de $f^{\prime }$ (pentes qui augmentent/diminuent).

Je dresse un tableau de signes de $f^{\prime \prime }$ pour conclure convexe/concave.

Je sais identifier un point d'inflexion : $f$ continue + $f^{\prime \prime }$ change de signe.

Je sais utiliser le test de la dérivée seconde ($f^{\prime }(a)=0$) et reconnaître quand il est non concluant.