Croissance et étude de fonctions

$\mathcal{D}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\text{a un sens}\}$.

• $f$ croissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$.
• $f$ strictement croissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$.
• $f$ décroissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$.
• $f$ strictement décroissante sur $I$ si $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$.

en $a\in \mathcal{D}(f)$ :

• maximum local : si $\exists$ voisinage $V$ de $a$ tel que $\forall x\in V,f(a)\ge f(x)$.
• minimum local : si $\exists$ voisinage $V$ de $a$ tel que $\forall x\in V,f(a)\le f(x)$.

$a\in \mathcal{D}(f)$ tel que $f^{\prime }(a)=0$ ou $f^{\prime }(a)$ n'existe pas.

$f^{\prime }(a)=0$ mais $a$ n'est ni un maximum ni un minimum (la dérivée ne change pas de signe).

$f^{\prime }(a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point d'abscisse $a$.

si $f$ est dérivable autour de $a$,

résoudre $f^{\prime }(x)=0$ donne des candidats aux extrema (pas une garantie).

• Si $f^{\prime }(x)=k\cdot (x-a)(x-b)\cdots$, le signe se lit avec un tableau de signes.
• Un facteur $(x-a{)}^2$ est toujours $\ge 0$ et ne change pas de signe en $a$.

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ :

• Déterminer $\mathcal{D}(f)$ (exclure les valeurs interdites).
• Calculer $f^{\prime }(x)$.
• Résoudre $f^{\prime }(x)=0$ (et relever où $f^{\prime }$ n'existe pas) : $\Rightarrow$ points critiques.
• Faire un tableau de signes de $f^{\prime }$ sur $\mathcal{D}(f)$ (en séparant les intervalles).
• Conclure : $f^{\prime }>0\Rightarrow$ $f$ croît ; $f^{\prime }<0\Rightarrow$ $f$ décroît.

• Trouver les points critiques (zéros de $f^{\prime }$ et points où $f^{\prime }$ n'existe pas).
• Étudier le changement de signe de $f^{\prime }$ de part et d'autre de chaque point critique.
• Conclure max/min/replat, puis calculer l'ordonnée $f(a)$ pour donner les coordonnées.

• Ligne $x$ : placer les bornes (et éventuelles ruptures du domaine).
• Ligne $f^{\prime }(x)$ : indiquer le signe sur chaque intervalle et les zéros.
• Ligne $f(x)$ : flèches $\nearrow$ ou $\searrow$ et valeurs $f(a)$ aux points clés.

(polynômes, produits) :

• Factoriser $f^{\prime }(x)$ au maximum.
• Zéros $\Rightarrow$ coupures du tableau.
• Multiplier les signes des facteurs pour obtenir le signe de $f^{\prime }$.

$f^{\prime }(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$ :

• Exclure $D(x)=0$ (coupures $\Rightarrow$ intervalles séparés).
• Comme $D(x{)}^2>0$ si c'est un carré, le signe dépend souvent seulement de $N(x)$.
• Conclure les variations sur chaque intervalle du domaine.

• Tangente montante $\Rightarrow f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f$ augmente.
• Tangente descendante $\Rightarrow f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f$ diminue.
• Tangente horizontale $\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$ (candidat : extremum ou replat).

• Les zéros de $f^{\prime }$ correspondent aux endroits où la courbe de $f$ a une tangente horizontale.
• Le signe de $f^{\prime }$ se lit sur son graphe : au-dessus de l'axe $x$ (positif) / en dessous (négatif).

Exemple de graphe (fonction et dérivée) : $f(x)=x^2-2x-8$ et $f^{\prime }(x)=2x-2$.

Ici, $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$. La courbe de $f$ a une tangente horizontale en $x=1$.

$f^{\prime }(x)<0$ pour $x<1$ $\Rightarrow f$ décroît, puis $f^{\prime }(x)>0$ pour $x>1$ $\Rightarrow f$ croît : donc minimum en $x=1$.

Trouver le minimum d'une fonction quadratique en annulant la dérivée et dresser le tableau de variation.

Soit $f(x)=3x^2-3x+7$, $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$.

Dérivée : $f^{\prime }(x)=6x-3$.

Zéro : $6x-3=0⟺x=\frac{1}{2}$.

Signe : $f^{\prime }(x)<0$ si $x<\frac{1}{2}$, et $f^{\prime }(x)>0$ si $x>\frac{1}{2}$.

Variations : $f$ décroît sur $(-\infty ,\frac{1}{2}]$ puis croît sur $[\frac{1}{2},+\infty )$.

Ordonnée du minimum :

$\Rightarrow$ minimum local (et global) : $\min \left(\frac{1}{2};\frac{25}{4}\right)$.

Soit $f(x)=(x-2)(x+3{)}^3$, $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$.

Dérivée (produit) :

Points critiques : $x=-3$ (double racine) et $x=\frac{3}{4}$.

Signe : $(x+3{)}^2\ge 0$ ne change pas de signe ; donc le signe de $f^{\prime }$ est celui de $(4x-3)$.

Variations : $f$ décroît sur $(-\infty ,\frac{3}{4}]$, puis croît sur $[\frac{3}{4},+\infty )$.

Interprétation :

• En $x=-3$, $f^{\prime }(-3)=0$ mais pas de changement de signe $\Rightarrow$ replat ; $f(-3)=(-5)\cdot 0=0$, donc replat $(-3;0)$.
• En $x=\frac{3}{4}$, $f^{\prime }$ passe de $-$ à $+$ $\Rightarrow$ minimum :

Soit $f(x)=\frac{3x+1}{2x-3}$. Domaine : $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus \{\frac{3}{2}\}$.

Dérivée (quotient) :

Comme $(2x-3{)}^2>0$ sur $\mathcal{D}(f)$, on a $f^{\prime }(x)<0$ sur tout $\mathcal{D}(f)$.

Conclusion :

• $f$ est strictement décroissante sur $(-\infty ,\frac{3}{2})$ et sur $(\frac{3}{2},+\infty )$.
• Il n'y a aucun extremum (puisque $f^{\prime }$ ne s'annule jamais).

$\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ (car $x^2+1>0$).

Dérivée :

Zéros : $1-x^2=0⟺x=\pm 1$.

Signe : $(x^2+1{)}^2>0$, donc le signe dépend de $1-x^2$ :

Variations : décroît sur $(-\infty ,-1]$, croît sur $[-1,1]$, décroît sur $[1,+\infty )$.

Extrema :

une fonction peut être croissante sur $(-\infty ,a)$ et $(a,+\infty )$ mais pas sur $\mathbb{R}$ si $a\notin \mathcal{D}(f)$.

$f^{\prime }(a)=0$ est seulement un candidat. Il faut regarder le changement de signe de $f^{\prime }$.

si $f^{\prime }(x)$ contient $(x-a{)}^2$, le signe ne change pas en $a$ $\Rightarrow$ souvent replat.

ce sont aussi des points critiques (cuspide, tangente verticale, etc.). On étudie la variation de part et d'autre.

en présence d'une valeur interdite (ex. rationnelles), faire deux tableaux (ou un tableau avec une coupure).

ne pas oublier de placer tous les zéros (numérateur, facteurs, etc.) et les valeurs interdites.

un extremum local n'est pas forcément global (surtout sur un domaine non borné).

sur un intervalle fermé $[a,b]$, un maximum/minimum global peut être atteint en $a$ ou $b$ même si $f^{\prime }(a)\ne 0$.

Je sais déterminer $\mathcal{D}(f)$ avant toute étude.

Je calcule correctement $f^{\prime }(x)$ (produit / quotient si besoin).

Je trouve les points critiques : $f^{\prime }(x)=0$ et/ou $f^{\prime }$ n'existe pas.

Je fais un tableau de signes de $f^{\prime }$ sur chaque intervalle du domaine.

Je conclus les variations : $f^{\prime }>0\Rightarrow \nearrow$, $f^{\prime }<0\Rightarrow \searrow$.

Je teste le changement de signe de $f^{\prime }$ pour décider max/min/replat.

Je calcule les coordonnées des extrema : $(a,f(a))$.

Je vérifie la cohérence graphique (pentes / sens de variation).

Pour une rationnelle : je sépare bien les intervalles autour des valeurs interdites.

Je n'affirme pas « extremum » seulement parce que $f^{\prime }(a)=0$.